Comment Savoir Si Les Vecteurs Sont Colinéaires

Comment Savoir Si Les Vecteurs Sont Colinéaires

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à reconnaître des vecteurs colinéaires et perpendiculaires dans le plan.

Commençons par considérer les vecteurs colinéaires. Deux vecteurs sont colinéaires south’ils sont des multiples scalaires l’united nations de l’autre. Sur la figure ci-dessous, les vecteurs

𝑎 ,


𝑏 ,
et
𝑐
sont tous colinéaires au vecteur
𝑢
et colinéaires les uns aux autres.

On définit les vecteurs colinéaires comme suit.

Définition : Vecteurs colinéaires

Les vecteurs
𝑢
et
𝑣
sont coliénaires si
𝑢 = 𝑘 𝑣
pour une valeur scalaire

𝑘 ,


𝑘 .

Notez que si on a des vecteurs coliénaires
𝑢
et
𝑣
telle que

𝑢 = 𝑘 𝑣 ,

𝑘
est une valeur positive, alors les vecteurs
𝑢
et
𝑣
sont coliénaires et pointent dans le même sens. Si
𝑘
est négatif, alors les vecteurs
𝑢
et
𝑣
sont colinéaires mais pointent dans des sens opposés. Sur la figure ci-dessus, les vecteurs

𝑢 ,


𝑎 ,
et
𝑐
sont colinéaires dans le même sens, mais le vecteur parallèle
𝑏
pointe dans le sens opposé à celui des autres.

On peut voir comment utiliser cette information dans le premier exemple.

Exemple i: Identifier si les vecteurs donnés sont colinéaires

Vrai ou False:Les vecteurs
𝐴 = ( 2 ; 1 )
et
𝐵 = ( vi ; three )
sont coliénaires.

  1. Vrai
  2. Faux

Réponse

Deux vecteurs
𝑢
et
𝑣
sont coliénaires due south’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre, c’est-à-dire,
𝑢 = 𝑘 𝑣
cascade une valeur scalaire

𝑘 ,


𝑘 .

Par conséquent, on vérifie s’il y a une constante
𝑘
pour laquelle
𝐴 = 𝑘 𝐵 .

Sachant que
𝐴 = ( 2 ; 1 )
et

𝐵 = ( half dozen ; 3 ) ,
on a
( 2 , 1 ) = 𝑘 ( 6 , three ) .

Si on pose l’équation en

𝑥 ,
on obtient
2 = 6 𝑘 1 three = 𝑘 .

Lorsqu’on pose l’équation

𝑦 ,
on obtient
i = 3 𝑘 i 3 = 𝑘 .

Ainsi, on peut écrire que
𝐴 = 1 3 𝐵 ,
et l’affirmation selon laquelle les vecteurs
𝑢
et
𝑣
sont colinéaires est vraie.

Ensuite, nous allons examiner comment identifier des vecteurs perpendiculaires. On rappelle que pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on écrit les composantes des vecteurs, on multiplie les composantes correspondantes de chaque vecteur et on additionne les nombres obtenus.

Définition : Produit scalaire des vecteurs bidimensionnels

Le produit scalaire de deux vecteurs
𝑢 = ( 𝑥 , 𝑦 )
et
𝑣 = ( 𝑥 , 𝑦 )
est
𝑢 𝑣 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 .

On peut également écrire que
𝑢 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝜃 , c o s

𝜃
est l’angle entre
𝑢
et

𝑣 .

On peut utiliser la définition du produit scalaire faisant intervenir 50’bending entre les vecteurs pour identifier les vecteurs perpendiculaires. Si les deux vecteurs
𝑢
et
𝑣
sont perpendiculaires, alors l’bending

𝜃 = 9 .

Ainsi, on peut écrire
𝑢 𝑣 = 𝑢 𝑣 9 = 𝑢 𝑣 × = . c o s

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On peut utiliser cette information pour établir que si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, alors ces vecteurs sont perpendiculaires. Il est courant d’utiliser la définition du produit scalaire faisant intervenir l’bending entre les vecteurs pour déterminer 50’angle entre deux vecteurs. De plus, si l’angle
𝜃 = 1 viii
ou

,
alors les vecteurs sont parallèles.

Définition : Vecteurs perpendiculaires

Deux vecteurs
𝑢 = ( 𝑥 , 𝑦 )
et
𝑣 = ( 𝑥 , 𝑦 )
sont perpendiculaires si
𝑢 𝑣 = .

Pareillement, en calculant le produit scalaire, les vecteurs
𝑢
et
𝑣
sont perpendiculaires si
𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 = .

Dans 50’exemple suivant, on peut voir comment utiliser cette définition pour identifier deux vecteurs perpendiculaires.

Exemple 2: Identifier deux vecteurs perpendiculaires

Lesquelles des paires de vecteurs suivantes sont perpendiculaires?

  1. ( 2 ; ) , ( 3 ; half dozen )
  2. ( ane ; 4 ) , ( two ; 8 )
  3. ( ; seven ) , ( ; 9 )
  4. ( 3 ; ) , ( ; half dozen )

Réponse

On rappelle que deux vecteurs,
𝑢 = ( 𝑥 , 𝑦 )
et
𝑣 = ( 𝑥 , 𝑦 )
sont perpendiculaires si
𝑢 𝑣 = .

Pour calculer

𝑢 𝑣 ,
on multiplie les composantes correspondantes de chaque vecteur et on additionne les nombres obtenus:
𝑢 𝑣 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 .

Donc, pour chaque paire de vecteurs ci-dessus, on vérifie si
𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 = .

Pour la première paire de vecteurs,
( 2 ; )
et

( three ; 6 ) ,
on a
( 2 , ) ( iii , 6 ) = 2 3 + ( vi ) = half dozen + = half-dozen .

Étant donné que

half-dozen ,

( 2 ; )
et
( iii ; 6 )
ne sont pas perpendiculaires.

Le produit scalaire de la deuxième paire de vecteurs,
( 1 ; iv )
et

( 2 ; 8 ) ,
peut être trouvé comme étant
( 1 , 4 ) ( two , viii ) = ane 2 + 4 8 = 2 + 3 ii = iii 4 .

Étant donné que

iii 4 ,

( 1 ; four )
et
( ii ; 8 )
ne sont pas perpendiculaires.

Ensuite, le produit scalaire des vecteurs
( ; vii )
et
( ; nine )
est
( , 7 ) ( , 9 ) = + 7 nine = + 6 3 = 6 3 .

Par conséquent,
( ; 7 )
et
( ; ix )
ne sont pas perpendiculaires.

La dernière paire de vecteurs de l’option D,
( 3 ; )
et

( ; six ) ,
a un produit scalaire de
( three , ) ( , half-dozen ) = 3 + vi = + = .

Étant donné que le produit scalaire est égal à zéro, les vecteurs
( 3 ; )
et
( ; half-dozen )
sont perpendiculaires.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir annotate trouver une valeur inconnue dans une paire de vecteurs, lorsqu’on sait que ceux-ci sont colinéaires.

Exemple 3: Déterminer la valeur de la constante qui rend deux vecteurs colinéaires

Si
𝐴 = ( , + 2 )
et

𝐵 = ( 3 , 4 1 ) ,
alors la valeur de

qui rend
𝐴 𝐵
est

.

  1. 7
  2. v
  3. 5
  4. 7

Réponse

On rappelle que deux vecteurs
𝐴
et
𝐵
sont colinéaires,

𝐴 𝐵 ,
si l’un est un multiple scalaire de l’autre.

On peut écrire cela comme
𝐴 = 𝑘 𝐵
cascade une valeur scalaire

𝑘 ,


𝑘 .

On peut introduire les valeurs
𝐴 = ( , + two )
et
𝐵 = ( 3 , 4 ane )
pour déterminer la valeur de

𝑘 ,
ce qui donne
( , + ii ) = 𝑘 ( iii , 4 one ) .

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Si on évalue l’équation des composantes en
𝑥
on obtient
= 𝑘 × 3 = three 𝑘 .

Si on divise par

3 ,
on obtient
3 = three 𝑘 3 1 iii = 𝑘 .

On évalue la deuxième équation cascade les composantes en
𝑦
ci-dessus et on obtient
+ 2 = 𝑘 ( 4 i ) .

Si on remplace la valeur
𝑘 = 1 3
dans cette équation, on obtient
+ 2 = i 3 ( 4 1 ) .

Lorsqu’on développe la parenthèse et qu’on soustrait

des deux côtés de l’équation, on obtient
+ 2 = 4 3 1 3 2 = 1 three 1 3 .

On peut simplifier cette équation en ajoutant
1 3
aux deux côtés, puis en multipliant par 3, ce qui donne
7 3 = i 3 7 = .

Par conséquent, l’une des valeurs de

qui donne
𝐴 𝐵
est la réponse de fifty’pick A, qui est 7.

On peut vérifier ce résultat en remplaçant
= vii
dans les vecteurs
𝐴
et
𝐵
et vérifier si

𝐴 = 𝑘 𝐵 .
Cela donne
( , + 2 ) = 𝑘 ( iii , iv 1 ) ( 7 , nine ) = 𝑘 ( 2 i , ii 7 ) .

On peut constater que nos vecteurs sont des multiples scalaires fifty’un de l’autre. Dans ce cas,

𝑘 = ane 3 .

On vérifie les autres options disponibles. Dans l’selection B,

= 5 .
Donc, si

𝐴 = 𝑘 𝐵 ,
on a
( , + two ) = 𝑘 ( three , 4 1 ) ( five , vii ) = 𝑘 ( 1 v , 1 9 ) .

Cependant, il northward’y a pas de valeur de
𝑘
qui rendrait cela valide, donc
( 5 ; vii ) 𝑘 ( ane 5 ; one 9 )
et
𝐴 𝐵
lorsque

= 5 .

Dans 50’option C,

= 5 .
Si

𝐴 𝐵 ,
on a
( , + two ) = 𝑘 ( three , iv 1 ) ( 5 , three ) = 𝑘 ( i 5 , 2 1 ) .

Cependant, il north’y a pas de valeur de
𝑘
qui serait valide, donc
( five ; iii ) 𝑘 ( 1 5 ; 2 ane )
et
𝐴 𝐵
lorsque

= five .

Enfin, lorsqu’on vérifie l’option D en remplaçant
= 7
dans

( , + 2 ) = 𝑘 ( 3 , iv 1 ) ,
on obtient
( seven , five ) = 𝑘 ( 2 1 , 2 9 ) .

Cependant, il north’y a pas de valeur valide de
𝑘
dans ce cas, donc
( seven ; 5 ) 𝑘 ( 2 1 ; ii 9 )
et
𝐴 𝐵
lorsque

= 7 .

Ainsi, nous avons démontré que la seule réponse valide parmi les options disponibles est

= 7 .

Dans l’exemple suivant, nous allons voir annotate identifier une valeur inconnue dans un vecteur, sachant que les vecteurs sont perpendiculaires.

Exemple 4: Déterminer la valeur de la constante qui rend deux vecteurs perpendiculaires

Proceed:si

𝐴 = 𝑘 ; iii ,

𝐵 = ( 3 ; 1 )
et

𝐴 𝐵 ,
alors toutes les valeurs possibles pour
𝑘
sont

.

  1. 1
  2. 1
  3. one ; 1
  4. iii

Réponse

On rappelle que si deux vecteurs
𝐴
et
𝐵
sont perpendiculaires,

𝐴 𝐵 ,
alors leur produit scalaire est égal à 0.

Cela signifie que pour tous vecteurs perpendiculaires
𝐴 = ( 𝑥 , 𝑦 )
et

𝐵 = ( 𝑥 , 𝑦 ) ,

𝐴 𝐵 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 = .

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On sait que
𝐴 = 𝑘 ; iii
et

𝐵 = ( three ; 1 ) .
Par conséquent,
𝐴 𝐵 = 𝑘 3 + 3 ( ane ) = 3 𝑘 3 .

Sachant que

𝐴 𝐵 = ,
on peut écrire que
iii 𝑘 3 = .

On peut simplifier en ajoutant 3 aux deux côtés, puis en divisant par 3, ce qui donne
three 𝑘 = three 𝑘 = ane .

On peut alors prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation, mais on doit prêter attention aux valeurs positive et négative de celle-ci. Ainsi,
𝑘 = ± 4 = ± 2 .

Par conséquent, on peut dire que les valeurs de
𝑘
sont celles de 50’option C:

1 ; 1 .

Dans le dernier exemple, nous allons identifier si deux vecteurs donnés sont colinéaires, perpendiculaires ou aucun des deux.

Exemple five: Identifier si les vecteurs donnés sont colinéaires, perpendiculaires ou aucun des deux

Complétez:Les vecteurs
𝐴 = ( 1 ; 2 )
et
𝐵 = ( 2 ; 1 )
sont

.

Réponse

On peut aborder cette question en considérant les cas où les vecteurs
𝐴
et
𝐵
sont colinéaires, perpendiculaires ou aucun des deux.

On rappelle que deux vecteurs sont coliénaires south’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Ici, on peut vérifier si
𝐴 = 𝑘 𝐵
pour une valeur scalaire

𝑘 ,


𝑘 .

Si on introduit les vecteurs donnés,
𝐴 = ( ane ; 2 )
et

𝐵 = ( 2 ; 1 ) ,
on vérifie southward’il y a une valeur de
𝑘
pour laquelle
( 1 , 2 ) = 𝑘 ( 2 , 1 ) .

Si on évalue l’équation des composantes en

𝑥 ,
on obtient
i = ii 𝑘 1 2 = 𝑘 𝑘 = 1 2 .

Lorsqu’on évalue l’équation des composantes en

𝑦 ,
on obtient
2 = 𝑘 , 𝑘 = 2 .

Cependant, comme les deux valeurs de
𝑘
sont différentes, il northward’y a pas de valeur unique de
𝑘
qui résout 50’équation. Donc,
( 1 , 2 ) 𝑘 ( 2 , 1 ) .

Par conséquent, les vecteurs
𝐴
et
𝐵
ne sont pas colinéaires.

Ensuite, on peut vérifier si
𝐴
et
𝐵
sont perpendiculaires en calculant leur produit scalaire.

Le produit scalaire de deux vecteurs
𝑢 = ( 𝑥 , 𝑦 )
et
𝑣 = ( 𝑥 , 𝑦 )
est défini par
𝑢 𝑣 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 .

Par conséquent, le produit scalaire de
𝐴 = ( 1 ; 2 )
et
𝐵 = ( ii ; 1 )
est
𝐴 𝐵 = 1 ( ii ) + 2 1 = ii + 2 = .

On rappelle que deux vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est égal à 0.

Par conséquent, on peut répondre à la question:les vecteurs
𝐴 = ( one ; 2 )
et
𝐵 = ( 2 ; ane )
sont perpendiculaires.

Résumons à présent les points clés.

Points Clés

  • Les vecteurs
    𝑢
    et
    𝑣
    sont parallèles si
    𝑢 = 𝑘 𝑣
    cascade une valeur scalaire

    𝑘 ,


    𝑘 .
  • Les vecteurs
    𝑢 = ( 𝑥 , 𝑦 )
    et
    𝑣 = ( 𝑥 , 𝑦 )
    sont perpendiculaires si leur produit scalaire est égal à 0:
    𝑢 𝑣 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 = .

Comment Savoir Si Les Vecteurs Sont Colinéaires

Source: https://www.nagwa.com/fr/explainers/670186058683/

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