63 Est Il Un Nombre Premier

63 Est Il Un Nombre Premier

Les nombres parfaits



United nations nombre égal à la somme de ses diviseurs propres est parfait. Un diviseur propre est un diviseur autre que le nombre lui-même.
Le premier nombre parfait est 6. En effet 1, 2 et 3 sont les diviseurs propres de 6 et 1+2+3=6.
28 est également united nations nombre parfait : one+ii+iv+7+xiv=28.

Les nombres parfaits sont rares, il n’en existe que trois inférieurs à 1000 qui sont 6, 28 et 496.
Ensuite vient 8128, puis 33 550 336,
eight 589 869 056,
137 438 691 328,
2 305 843 008 139 952 128 (découvert par Leonhard Euler),
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176, …

Actuellement, 51 nombres parfaits sont connus. Le plus grands possède 12 640 858 chiffres et est égal à :
220 996 010(220 996 011-1).
Comme pour le plus grand nombre premier, c’est le projet GIMPS qui détient le record.





Euclide

Dans le IXème livre des Eléments, Euclide d’Alexandrie (-320? ; -260?) betrayal une façon de générer des nombres parfaits :

“Lorsque la somme d’une suite de nombres doubles les uns des autres est un nombre premier, il suffit de multiplier
ce nombre
par le
dernier terme
de cette somme cascade obtenir un nombre parfait.”

one+ii=3
qui est premier donc
2xthree=vi est parfait.
one+2+four=7
qui est premier donc
ivx7=28 est parfait.
i+two+4+8=15 n’est pas premier.
one+two+four+viii+16=31
est premier donc
16x31=496 est parfait.

En découle une formule qui porte aujourd’hui le nom de
Formule d’Euclide
:
twop-1(2p
– 1) est parfait si p et (twop
– 1) sont premiers.

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Nous retrouvons la formulation donnée plus haut du 40ème nombre parfait.

Jadis les nombres parfaits étaient considérés comme supérieurs à tous les autres. On voyait en eux un rôle mystique. Citons Saint Augustin dans “La cité de Dieu” (420 après J.C.) :
“Six est united nations nombre parfait en lui même, non parce que Dieu a créé toutes choses en half dozen jours, mais Dieu a créé toutes choses en vi jours parce que ce nombre est parfait.”

Les conjectures en rapport avec les nombres parfaits sont nombreuses :
En mathématiques, on appelle theorize, une règle qui n’a jamais été prouvée. On l’a vérifiée sur beaucoup d’exemples mais on north’est pas sûr qu’elle soit toujours vraie.

-Les nombres parfaits d’Euclide
sont tous pairs puisque fifty’un des facteurs est une puissance de ii. Mais rien ne prouve cascade fifty’instant qu’il due north’existe pas de nombres parfaits impairs.
-Par ailleurs, il est aisé de constater que tous les nombres parfaits cités plus haut se terminent par vi ou 28.
-Un autre problème qui reste ouvert est la preuve de fifty’infinitude des nombres parfaits.





Nicomaque

Le philosophe et mathématicien
Nicomaque de Gérase
(200 après J.C.) étudie les nombres parfaits en les comparant aux
nombres déficients
(nombre supérieur à la somme de ses diviseurs propres) et aux
nombres abondants
(nombre inférieur à la somme de ses diviseurs propres). Il trouve les quatre premiers nombres parfaits.

Voici comment il les définit dans son ouvrage
« Arithmetica »
:

« … il arrive que, de même que le boyfriend et le parfait sont rares et se comptent aisément, tandis que le laid et le mauvais sont prolifiques, les nombres excédents et déficients sont en très grand nombre et en thou désordre ; leur découverte manque de toute logique. Au contraire, les nombres parfaits se comptent facilement et se succèdent dans un ordre convenable ; on north’en trouve qu’un seul parmi les unités, 6, un seul dans les dizaines, 28, united nations troisième assez loin dans les centaines, 496 ; quant au quatrième, dans le domaine des mille, il est voisin de dix mille, c’est 8 128. Ils ont un caractère commun, c’est de se terminer par un six ou par un 8, et ils sont tous invariablement pairs. »





Si les nombres parfaits sont rares, les
nombres amiables
ne le sont guère moins. Deux nombres sont amiables (on dit aussi amis) si la somme des diviseurs propres de 50’un est égale à l’autre et réciproquement.

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Le premier couple de nombres amiables (220 , 284) aurait été découvert par les pythagoriciens.
Somme des diviseurs propres de 220 : one+two+4+5+x+eleven+20+22+44+55+110=284
Somme des diviseurs propres de 284 : 1+2+iv+71+142=220.

A ce sujet, on attribue à Pythagore une citation :

« Un ami est 50’autre moi-même comme sont 220 et 284. »

Le 2nd couple de nombres amiables fut découvert par Pierre de Fermat (1601 ; 1665), il south’agit de 17296 et 18416. René Descartes (1596 ; 1650) découvrit le troisième : 9437056 et 9363584.

Aujourd’hui plusieurs milliers de couples sont connus. Le tableau ci-dessous en présente les premiers.

220
284
1184
1210
2620
2924
5020
5564
6232
6368
10744
10856
12285
14595
17296
18416
63020
76084
66928
66992
67095
71145
69615
87633
79750
88730

Quelques liens traitant du sujet :

  • NOMBRES – Curiosités, théorie et usages Un dossier très intéressant sur les nombres parfaits, déficients et abondants
  • recreomath donne la liste des forty nombres parfaits connus
  • Bibliographie

63 Est Il Un Nombre Premier

Source: https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/les-nombres-parfaits

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