Comment Calculer Un Rapport De Réduction

Comment Calculer Un Rapport De Réduction


Comptes Rendus MATh.en.JEANS 01-01



Les mathématiques
des engrenages





par






Nicolas TERRACOL



,





élève de Term. S3 au Lycée d’Altitude de Briançon (05).










Jumelage MATh.en.JEANS




entre les lycées d’altitude de Briançon (05) (Atelier Scientifique et Action “Passion Recherche”) et Jean Moulin de Pézenas (34), année scolaire 2000-01.




Enseignants :




Hubert PROAL (Briançon), avec la participation de Luc SAVIGNEUX (Pézenas)




Chercheur (correspondant) :




Patric VEROVIC


[Article vérifié et commenté : les passages entre crochets sont des éditeurs]



I) Présentation générale du problème

On trouve dans de nombreuses machines des systèmes d’engrenages destinés à multiplier ou à démultiplier une vitesse d’entrée pour obtenir une vitesse de sortie bien particulière.

Les exemples sont nombreux, comme les boites de vitesse de nos voitures, ou encore les engrenages des montres et des horloges.

Nous disposons d’un arbre tournant à une vitesse angulaire
W. A la sortie on veut une vitesse angulaire k.W où chiliad=0,23 (par exemple).

Il faut donc essayer de trouver une méthode générale pour placer des engrenages (dont on définira le plus petit et le plus g), qui ont par exemple entre 15 et fifty dents pour obtenir le rapport k.


2) Etude des engrenages


a) Historique

Les premières machines construites afin de modifier des vitesses angulaires étaient des roues de friction.

Ces roues étaient lisses et construites dans un matière qui avaient un fort coefficient de frottement.

Elles étaient maintenues en pression l’une contre l’autre, et le frottement qui se créait entre ces deux roues assurait la rotation des roues.



Mais ce système ne permettait pas de contrôler correctement le rapport k qui existait entre les vitesses angulaires d’entrée et de sortie. En effet les frottements qui existaient entre les roues due north’étaient pas constants et le rapport k variait lui aussi.

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D’où l’idée de mettre autour de la roue des ” obstacles “, des dents pour augmenter la précision de la manual de l’effort entre les roues.

Ainsi naissent les engrenages dotés de dents et qui permettent d’obtenir des rapports de manual très précis.


b) Etude du rapport de manual dans un couple d’engrenages

On appelle couple d’engrenages un montage constitué d’un pignon moteur denté et d’une roue réceptrice, elle aussi dentée.

Notations pour une roue d’engrenage:

On appelle W sa vitesse angulaire.

On appelle D son diamètre.

On appelle Z son nombre de dents.

On appelle p le pas de la denture.

Aux notations sont associés des indices qui les lient aux roues auxquelles elles se rapportent.

Par exemple W2
represent à la vitesse angulaire de la roue 2, Z25
le nombre de dents de la roue 25 etc….



Pour engrener les ii roues d’un engrenage doivent avoir le même pas.

On a la relation qui lie la circonférence et le pas

p

D= Z.p

donc p=
p
D/Z

or p1=p2

donc
et donc
.

Au point One thousand les extrémités des 2 dents ont la même vitesse linéaire (et non pas angulaire).

On a la relation

(relation liant la vitesse avec la vitesse angulaire en fonction du rayon qui est la moitié du diamètre) ; donc

On obtient la relation

d’où on déduit que
West1.Z1=Due westtwo.Ztwo

Par définition, le

rapport d’un montage d’engrenage

est égal au quotient de la vitesse angulaire de sortie par la vitesse angulaire d’entrée.

Ce rapport est aussi égal au rapport inverse du nombre de dents des roues.

Soit
k
ce rapport de réduction alors :





Remarques:

– On voit bien ici le rapport inverse du nombre de dents par rapport aux vitesses de rotation (inversion des indices).

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– Il est important de considérer un rapport de réduction sous forme fractionnaire comme une chose qui existe. Ainsi si

il south’agit du rapport de réduction formé par une roue de 47 dents et une roue de 23 dents.

donc
.



Nous voici désormais en possession de la

formule de base of operations des engrenages
.






c) Etude des rapports de transmissions avec plusieurs couples d’engrenages



D’après la formule précédente on a:


(cascade le premier couple d’engrenages {1+2})

on a aussi:

(pour le deuxième couple d’engrenages {2+3})

Si on remplace Z2
par sa valeur on a:

En simplifiant on obtient
.

On retrouve bien ici notre relation initiale entre la vitesse d’entrée et celle de sortie. Cependant on s’aperçoit que la roue two n’a aucune influence sur le rapport de réduction de ce montage.

On démontre facilement par récurrence [sur le nombre de roues] que
les roues intermédiaires situées entre 50’entrée et la sortie n’ont aucune influence sur le rapport de réduction du montage
et ce quelque soit leur identify et leur nombre.

Par exemple pour le montage suivant, les roues intervenant dans le rapport de réduction sont la ane et la 6 seulement.



On a la relation
.

Les roues intermédiaires n’ont aucune influence sur le rapport de réduction. Le rapport ne dépend alors que du nombre de dents des roues d’entrée et de sortie. On n’aura donc qu’un nombre limité de rapports de réduction possibles et pas nécessairement ceux désirés. Par exemple si on veut réaliser le rapport
half dozen, il faut trouver 2 roues dont le quotient des nombres de dents vaut six. Or dans notre intervalle [15 , 50] on ne dispose pas des roues nécessaires.

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6 n’étant après tout pas réellement difficile à faire [motorcar c’est un petit nombre entier ?], on imagine assez bien que des rapports du type 0.28 ou iii.15478 sont irréalisables avec cette méthode.

Il faut donc imaginer une astuce pour élargir nos possibilités.


d) Les arbres

Si on apply united nations arbre cascade relier ii roues on garde la même vitesse angulaire pour united nations nombre de dents différents.



Etude d’un montage de iv roues avec 2 arbres



On cherche Wiv
en fonction de West1

On a
.
Or Westwardfour= Wiii
donc

On due south’aperçoit que le rapport de réduction de ce montage correspond au
rapport des roues qui se touchent directement.

Montons plusieurs roues avec des arbres et étudions ce qui se passe.

On a les relations
et

donc
.

On voit ici que le rapport de réduction de ce montage () est égal au
produit des rapports des roues qui se touchent directement.

Par récurrence on démontre que
le rapport total d’un montage du blazon précédent est égal au produit des rapports des montages intermédiaires
(roues qui se touchent directement).

On a maintenant la relation suivante pour un montage avec n roues:



On voit maintenant que si le rapport que 50’on veut réaliser est compliqué il suffira de le décomposer en pleins de petits rapports simples à réaliser.

half-dozen qui était infaisable tout à l’heure est désormais réalisable :. Il suffit de monter en série deux montages ayant pour rapport ii et 3 ce qui est très réalisable.







suite :


III) Analyse mathématique

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Source: http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/0101engr/01daeng1.html

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