Segment Joignant Deux Points D Un Cercle

Segment Joignant Deux Points D Un Cercle


Propri�t�due south g�north�rales















S�cante




*





Toute s�cante coupe le cercle en deux points, et pas plus. Ou un betoken double, en cas de tangence.

Formalisation math�matique de cette propri�t� (pour l’exemple):

Soit

𝓓

une droite du plan affine euclidien,
C
united nations cercle de middle O et de rayon R, et��











.

Si d(O,
𝓓
) < R, on a bill of fare (Ω) =
2.






*





De g�me, deux cercles qui se coupent, se coupent en deux points, sauf cas de tangence.


Diam�tre




*





United nations diam�tre divise un cercle en deux parties �gales.




*





Pour chaque point de la circonf�rence, l’angle intercept� par le diam�tre est un bending droit.


Rayon et middle




*





Tous les points de la circonf�rence sont � �gales distance du heart. La longueur est �gale � celle du rayon. Si d’un point du cercle plusieurs segments joignant la circonf�rence sont �gaux, ce indicate est le centre du cercle.




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Tous les points internes au disque ont une altitude au centre inf�rieure � celle du rayon.




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Un signal est int�rieur ou ext�rieur au disque selon que sa distance au middle est inf�rieure ou sup�rieure � celle du rayon.




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Un angle au centre interceptant un sure arc vaut le double de l’angle inscrit interceptant le one thousand�me arc.


Corde




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Une corde (not diam�tre) partage le disque en deux parties in�gales.




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Les cordes les plus longues sont les plus proches du centre. La corde la plus longue est le diam�tre.




*





La bissectrice d’united nations angle interceptant united nations arc de cercle coupe la corde correspondante � angle droit.
R�ciproquement,
si le diam�tre coupe une corde � bending droit, il partage les arcs intercept�s en deux parties �gales.




*





Une droite result du middle du cercle et s�parant une corde en deux parties �gales est �galement la m�diatrice de la corde.
Voir
D�mo.




*





La m�diatrice d’une corde passe par le center du cercle.




*





Deux cordes �gales sont �quidistantes du middle du cercle.
R�ciproquement: deux cordes �quidistantes du eye sont �gales.




*





Le lieu du point milieu de cordes �gales est un cercle.




*





Une droite passant par le milieu de deux cordes passe par le centre du cercle.


Sym�trie




*





Un cercle est sym�trique par rapport � tout diam�tre. Si un cercle passe par un indicate, il passe aussi par son sym�trique par rapport � son diam�tre.




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Le centre du cercle est un centre de sym�trie quelque soit l’angle de rotation.




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La ligne des centres de deux cercles est un axe de sym�trie pour ces deux cercles.


Deux, trois et quatre points




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Il y a une infinit� de cercles qui passent par deux points. Le lieu du center de ces cercles est la m�diatrice du segment joignant ces deux points.




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Par trois points non align�s passe un cercle et un seul. La position et la taille d’un cercle sont compl�tement d�termin�es par trois points. Du fait de ses trois sommets, on peut inscrire tout triangle dans un cercle.




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Si un parall�logramme est inscrit dans un cercle, les 1000�diatrices des c�t�south se coupent au centre du cercle et c’est aussi le cas des diagonales.




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Le seul parall�logramme inscriptible dans un cercle est le rectangle. Ses diagonales, qui sont des diam�tres, se coupent au middle du cercle.


Deux cercles (ou plus)




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Deux cercles de m�me rayon sont �gaux.




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Deux cercles (ou plus) concentriques de se coupent pas.




*





Deux cercles ayant un indicate commun n’ont pas le m�me centre, � moins qu’ils soient �gaux, qu’ils se superposent.




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Lorsque deux cercles se coupent, le segment joignant les deux points d’intersection est perpendiculaire � la ligne des centres.




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Les segments d’une s�cante, intercept�south par deux cercles concentriques, sont �gaux.




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Deux cordes se coupent en G. Si les angles de ces cordes par rapport � OM sont �gaux, les cordes sont �gales.




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Deux cordes �gales qui se coupent se partagent en segments �gaux d’une corde � l’autre.




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Les cercles qui passent par un m�me betoken et qui ont leur centre sur une thousand�me droite, poss�de un second point commun d’intersection.



Corde et sa 1000�diatrice















Thursday�or�me

Une droite issue du centre du cercle et s�parant une corde en deux parties �gales est �galement la
m�diatrice
de la corde.


La r�ciproque est vraie:

La m�diatrice d’une corde passe par le centre du cercle.

















Hypoth�ses




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La droite D passe par O le centre du cercle.







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Elle coupe la corde AB, telle que: AH = HB.







*





On note que par construction: OA = OB = R.





Th�or�me invoqu�




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Deux triangles qui ont leurs c�t� �gaux deux � deux sont �gaux (isom�triques).





D�monstration




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Les triangles OHA et OHB ont:







*





OH en commun,







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OA = OB, et







*





HA = HB.







*





Ces deux triangles ayant leurs trois c�t�s �gaux deux � deux sont �gaux.







*





Par cons�quent, leurs angles sont �gaux, notamment:














OHA =










OHB







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Or, la somme de ces deux angles forme un angle plat (180�).







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Chacun vaut 90�, un bending droit.







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La droite D qui partage AB en deux parties �gales et qui lui est perpendiculaire est sa
m�diatrice






















Note:


il est recommand� de pr�senter une d�monstration syst�matiquement de la mani�re indiqu�e ci-dessus,



Les trois POINTS















Th�or�me

Par trois points non marshal�southward, on peut dessiner un cercle et united nations seul.


Cons�quence

Un cercle est compl�tement d�fini par trois points.

















Hypoth�ses




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Trois points non align�s A, B et C.





Thursday�or�me invoqu�




*





Un betoken situ� sur la m�diatrice d’un segment est � �quidistance des deux extr�mit�s du segment.





D�monstration




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On trace les segments AB et BC et leur thousand�diatrice. Celles-ci se coupent en O.







*





Le point O est sur la thousand�diatrice de AB, alors: OA = OB.







*





Le point O est sur la chiliad�diatrice de BC, alors: OB = OC.







*





Le indicate O, qui est unique, est � �quidistance de A, B et C.




*





Un cercle de heart O et de rayon OA passera aussi par B et C et il est unique



















Th�or�me des cordes s�cantes



















Th�or�me des cordes






Les diagonales d’un quadrilat�re cocyclique se coupent selon la relation:



xy = uv


ou �quivalent


Deux s�cantes passant par un point P du cercle, se coupent selon la relation:



xy = uv


D�monstration 1
(figure du haut)



les angles � gauche marqu�due south en rouge interceptent le thou�me arc, ils sont �gaux. Idem � droite.


Les triangles APB et DPC sont semblables et les mesures des c�t�s sont proportionnelles:















D�monstration 2
(figure du bas)



Une belle d�monstration pour le plaisir


On trace le triangle A’Lead’ homoth�tique de APB dans le rapport v.




On trace le triangle C’PD’ homoth�tique de CDP dans le rapport x.


De sorte que A’P = D’P = vx




On va montrer qu’il en est de thou�me � droite.


Les quatre angles � gauche sont �gaux: interception du 1000�me arc, et effet d’homoth�necktie. Idem pour ceux de droite.


Les quatre triangles sont semblables car trois angles �gaux.


Les grands triangles A’B’P et C’D’P sont semblables avec deux c�t�s �gaux � gauche; ces deux triangles sont �gaux et les deux c�t�s de droite sont �gaux:
�������������������










































Cordes southward�cantes orthogonales et rayon du cercle



















Th�or�me des cordes






Deux cordes perpendiculaires sont telles que. 4R� = x� + y� + u� + v�







D�monstration


On trace les one thousand�diatrices (bleues) des cordes Air-conditioning et BD. Le eye du cercle se situe � leur intersection


La effigy montre le calcul des dimensions dont celles du triangle rectangle OHD, et avec Pythagore:









































Or,
les cordes, orthogonales ou non, se coupent avec la relation: xy = uv


Soit la relation cherch�e en 4R�.














Probl�me classique


Avec ces trois mesures, retrouvez le rayon du cercle.


Th�or�me des cordes:
2













6 = iii













10 = > x = 4


Relation donnant le rayon:
4R� = 2� + 3� + six� + 4� = 65

R = four,0311…


Figure de l’�nonc�������
et����������
figure de la solution






����








Du g�me type �


Quelle est la longueur de la corde ?


On ne connait que les deux longueurs 2 et four et aussi le rayon 5


On prolonge le segment iv (pointill�s).


Thursday�or�me des cordes:
2x = 4y = > x = 2y


Relation donnant le rayon:
4 x 5� = 2� + 4� + y� + (2y)�
100 = 20 + 5y� => y = four et ten = 8


Longueur de la corde: 2 + 8 = ten.












Segment Joignant Deux Points D Un Cercle

Source: http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Propri01.htm

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