Comment Savoir Si Des Vecteurs Sont Colinéaires

Comment Savoir Si Des Vecteurs Sont Colinéaires


Vecteur de fifty’espace


♦ Utiliser les vecteurs pour démontrer un alignement, un parallèlisme: cours en vidéo

  • Un
    vecteur
    symbolise un
    déplacement. 2 vecteurs sont égaux s’ils correspondent au même déplacement.

  • Vecteurs égaux: \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}\Leftrightarrow\)

    \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}\Leftrightarrow\) ABDC est un
    parallèlogramme.

    Attention à 50’ordre des lettres: ABDC est un parallèlogramme et pas ABCD !!!!



  • Cascade
    additionner
    2 vecteurs

    Cascade
    additionner
    2 vecteurs, on les met
    “tour à bout”.


  • Pour
    soustraire
    2 vecteurs

    Pour
    soustraire
    2 vecteurs, on additionne le
    vecteur opposé.


  • 2 vecteurs sont

    colinéaires


    \(\Leftrightarrow\)

    2 vecteurs sont
    colinéaires

    \(\Updownarrow\)
    l’un peut s’exprimer en fonction de l’autre.
    \(\Updownarrow\)
    l’un est égal à

    thousand
    fois l’autre
    .

    \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires auto \(\vec v=2 \vec u\).
    \(\vec u\) et \(\vec w\) ne sont pas colinéaires.
    \(\vec u\) et \(\vec one thousand\) sont colinéaires car \(\vec k=-3\vec u\).



  • Pour savoir si 2 vecteurs sont colinéaires:

    Technique ane: On essaye d’exprimer un vecteur en fonction de l’autre.
    Technique 2: On utilise un repère.
    On trouve les coordonnées de chaque vecteur.
    On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles.
    Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires.
    Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.


  • Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire à

    Le vecteur nul \(\vec{0}\)
    est
    colinéaire à tout vecteur.
    Auto quel que soit un vecteur \(\vec u\), on peut toujours écrire: \(\vec 0=0 \cdot \vec u\).


  • iii
    points
    A, B, C sont
    alignés
    \(\Leftrightarrow\)

    3
    points
    A, B, C sont
    alignés
    \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{Air-conditioning}}\) sont
    colinéaires.
    Dans la pratique, pour savoir si A, B, C sont alignés:
    on regarde si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) sont
    colinéaires, à l’aide de la méthode “vecteurs colinéaires”.
    Si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{Ac}}\) sont
    colinéaires, alors les points A, B, C sont alignés.
    Sinon les points A, B, C ne sont pas alignés.



  • two
    droites
    (AB) et (CD) sont
    parallèles
    \(\Leftrightarrow\)

    ii
    droites
    (AB) et (CD) sont
    parallèles
    \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) sont
    colinéaires.
    Dans la pratique, pour savoir si (AB) et (CD) sont parallèles,
    on regarde si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) sont
    colinéaires, à l’aide de la méthode “vecteurs colinéaires”.
    Si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) sont
    colinéaires, alors les droites sont parallèles.
    Sinon les droites ne sont pas parallèles.


Vecteurs coplanaires

Points coplanaires

: cours en vidéo



  • Des
    points
    sont
    coplanaires
    \(\Leftrightarrow\)

    Des
    points
    sont
    coplanaires
    lorsqu’il existe un
    plan contenant
    ces
    points.

    Des points ne sont
    pas coplanaires
    lorsqu’il north’existe aucun plan
    qui contient ces points.



  • 2
    points
    sont

    2
    points
    sont toujours
    coplanaires.
    il existe toujours un
    programme contenant
    2
    points.



  • 3
    points
    sont

    3
    points
    sont toujours
    coplanaires.
    il existe toujours un
    plan contenant
    3
    points.

    Il est important de comprendre l’analogie avec les chaises:
    Une chaise à
    three pieds
    n’est
    jamais bancale!


    Car les points qui touchent le sol sont toujours coplanaires.

    Mais une chaise à
    iv pieds
    peut être bancale.


    Car 4 points ne sont pas toujours coplanaires!



  • four
    points
    sont
    coplanaires
    \(\Leftrightarrow\)

    iv
    points
    sont
    coplanaires
    \(\Leftrightarrow\) il existe un
    plan contenant
    ces 4
    points.

    4 points ne sont
    pas coplanaires
    \(\Leftrightarrow\) il due north’existe aucun plan
    qui contient ces four points.



  • Des
    vecteurs
    sont
    coplanaires
    \(\Leftrightarrow\)

    Des
    vecteurs
    sont
    coplanaires
    lorsqu’on peut les représenter dans un
    même programme.



  • 2
    vecteurs

    2 vecteurs
    sont toujours
    coplanaires
    machine on peut toujours les représenter dans united nations
    même programme.


  • iii
    vecteurs
    \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont
    coplanaires
    \(\Leftrightarrow\)

    3
    vecteurs
    \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{westward}\) sont
    coplanaires

    \(\Updownarrow\)
    On peut représenter ces iii vecteurs dans united nations même plan
    \(\Updownarrow\)
    Il existe 4 points A, B, C et D d’united nations même program tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\), \(\vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\)
    \(\Updownarrow\)
    Fifty’un des vecteurs peut due south’exprimer en fonction des ii autres

    Exemple



  • Pour savoir si \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires:

    Pour savoir si \(\vec{u}\), \(\vec{five}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires:
    On cherche si deux vecteurs parmi les three sont colinéaires:
    – Si c’est le cas, les 3 vecteurs sont toujours coplanaires.
    – Dans le cas contraire: on essaye d’exprimer \(\vec{w}\) en fonction de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

    Pour celà, on cherche 2 nombres
    a
    et
    b
    tels que \(\vec{due west}=a\vec{u}+b\vec{v}\).

    Si on peut trouver
    a
    et
    b
    alors \(\vec{u}\), \(\vec{5}\) et \(\vec{westward}\) sont coplanaires.

    Sinon \(\vec{u}\), \(\vec{5}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires.


  • “A, B, C, D sont-ils coplanaires” c’est la même question que

    Les
    points
    A, B, C, D sont-ils coplanaires?
    c’est la même question que:
    Les
    vecteurs
    \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{Ac}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) sont-ils coplanaires?

    Concrètement, cascade savoir si A, B, C et D sont coplanaires:
    On cherche si deux vecteurs parmi \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{Ac}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) sont colinéaires:
    – Si c’est le cas, \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{Ac}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) sont coplanaires

    et donc les points A, B, C et D sont coplanaires.
    – Dans le cas contraire: on essaye d’exprimer \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) en fonction de \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\).

    Pour celà, on cherche 2 nombres
    a
    et
    b
    tels que \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\)=a\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)+b\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\).

    • Si on peut trouver
    a
    et
    b
    alors \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{Ac}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{Advertising}}\) sont coplanaires
    et donc les points A, B, C et D sont coplanaires.

    • Sinon \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ne sont pas coplanaires
    et donc les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.



Repère de l’espace


♦ Qu’est-ce qu’united nations repère, comment trouver les coordonnées d’un point: cours en vidéo

  • Un
    repère, c’est quoi

    United nations
    repère: c’est un point, appelé
    origine
    et
    3 vecteurs not coplanaires, appelés la base of operations du repère.
    Exemples



  • Etant donné un repère (\(O;\vec i;\vec j;\vec grand\)) de 50’espace, pour tout point M

    il existe \(x, y, z\)
    uniques
    tels que \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}=x\vec i+y \vec j+z\vec k\).
    \(x\), \(y\), \(z\) s’appellent les
    coordonnées
    de M dans ce repère.


  • Cascade trouver les

    coordonnées
    d’un point

    :

    Pour trouver les coordonnées d’united nations point Thousand dans le repère (\(O;\vec i;\vec j;\vec grand\)):

    Technique 1: On essaye d’exprimer le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) en fonction des vecteurs \(\vec i\), \(\vec j\) et \(\vec k\).
    Si on veut les coordonnées du point Grand dans le repère (\(A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}})\):


    On essaye d’exprimer \(\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) en fonction de \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{Advertisement}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\).
    On a: \(\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{Ad}}+\frac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)
    Donc M a cascade coordonnées dans ce repère (\(\frac12;i;\frac12\))
    Technique 2: On cherche une égalité vectorielle avec le bespeak M
    puis on traduit cette égalité à l’adjutant des coordonnées,
    comme expliqué dans la vidéo.


  • Pour trouver les

    coordonnées du milieu

    :

    Si I est le milieu de [AB] alors I a cascade coordonnées:
    I\[\left(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2;\frac{z_A+z_B}ii\right)\]

    Cette formule est
    valable

    dans n’importe quel repère,
    orthonormé ou pas orthonormé.



  • Cascade trouver les

    coordonnées du center de gravité

    :

    Si G est le center de gravité du triangle ABC alors G a cascade coordonnées:
    Yard\[\left(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3;\frac{z_A+z_B+z_C}3\right)\]

    Cette formule est
    valable

    dans due north’importe quel repère,
    orthonormé ou pas orthonormé.



    Et ne pas oublier que le centre de gravité 1000 est à 50’intersection des médianes.


    Et vectoriellement on a: \(\overrightarrow{\mathrm{IG}}=\frac xiii\overrightarrow{\mathrm{IC}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{JG}}=\frac 13\overrightarrow{\mathrm{JA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{KG}}=\frac 13\overrightarrow{\mathrm{KB}}\)



♦ Savoir passer de vecteur en coordonnées: cours en vidéo

  • Pour trouver les

    coordonnées
    d’un vecteur

    :

    Pour trouver les
    coordonnées
    d’un vecteur dans le repère (\(O;\vec i;\vec j;\vec k\)):

    Technique 1: On essaye d’exprimer le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) en fonction des vecteurs \(\vec i\), \(\vec j\) et \(\vec k\).
    Si on veut les coordonnées de \(\overrightarrow{\mathrm{EM}}\) dans le repère (\(A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}})\):


    On essaye d’exprimer \(\overrightarrow{\mathrm{EM}}\) en fonction de \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\).
    On a: \(\overrightarrow{\mathrm{EM}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)
    Donc Thousand a pour coordonnées dans ce repère (\(\frac12;i;-\frac12\))
    Technique ii: On utilise les coordonnées des points cascade trouver les coordonnées d’un vecteur:
    le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) a pour coordonnées \((x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)


  • Quand on additionne 2 vecteurs, les coordonnées

    les coordonnées s’additionnent.



  • Quand on multiplie united nations vecteur par \(\lambda\), les coordonnées

    les three coordonnées sont multipliées par \(\lambda\).



♦ Savoir utiliser les repères cascade résoudre des problèmes de géométrie: cours en vidéo

  • 2 vecteurs sont
    colinéaires
    \(\Leftrightarrow\)

    two vecteurs sont
    colinéaires
    \(\Leftrightarrow\) leurs coordonnées sont
    proportionnelles.

    C’est
    valable

    dans north’importe quel repère,
    orthonormé ou pas orthonormé.



  • A, B, C sont
    alignés
    \(\Leftrightarrow\)

    A, B, C sont
    alignés

    \(\Updownarrow\)
    \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{Ac}}\) sont
    colinéaires

    \(\Updownarrow\)
    leurs coordonnées sont proportionnelles.

    C’est
    valable

    dans n’importe quel repère,
    orthonormé ou pas orthonormé.



  • les droites (AB) et (CD) sont
    parallèles
    \(\Leftrightarrow\)

    les droites (AB) et (CD) sont
    parallèles

    \(\Updownarrow\)
    \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) sont
    colinéaires

    \(\Updownarrow\)
    leurs coordonnées sont proportionnelles.

    C’est
    valable

    dans n’importe quel repère,
    orthonormé ou pas orthonormé.



  • Pour savoir si 3
    vecteurs
    sont
    coplanaires:

    Pour savoir si \(\vec{u}\), \(\vec{5}\) et \(\vec{due west}\) sont coplanaires:
    On cherche si
    deux vecteurs sont colinéaires
    parmi les 3.
    Pour cela, on regarde si leurs
    coordonnées
    sont
    proportionnelles.

    South’il
    y a
    2 vecteurs colinéaires alors les 3 vecteurs sont toujours coplanaires.

    Sinon
    on cherche 2 nombres
    a
    et
    b
    tels que \(\vec{west}=a\vec{u}+b\vec{v}\).
    On traduit \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\) en coordonnées.
    On obtient un
    système d’inconnues
    a
    et
    b
    .

    Si on trouve des
    solutions
    alors \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{due west}\) sont
    coplanaires.

    Due south’il n’y a
    pas de solution, \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont
    pas coplanaires.

    Technique
    valable

    dans n’importe quel repère,
    orthonormé ou pas orthonormé.


  • Pour savoir si 4
    points
    sont
    coplanaires:

    Pour savoir si A, B, C et D sont coplanaires:
    On cherche si
    deux vecteurs sont colinéaires
    parmi \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{Advertizing}}\).
    Pour cela, on regarde si leurs
    coordonnées
    sont
    proportionnelles.

    S’il
    y a
    ii vecteurs colinéaires alors \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{Ad}}\) sont coplanaires.
    et donc A, B, C et D sont coplanaires.

    Sinon
    on cherche 2 nombres
    a
    et
    b
    tels que \(\overrightarrow{\mathrm{Advert}}=a\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\overrightarrow{\mathrm{AC}}\).
    On traduit \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\) en coordonnées.
    On obtient un
    système d’inconnues
    a
    et
    b
    .

    • Si on trouve des
    solutions
    alors \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) sont
    coplanaires.

    et donc A, B, C et D sont coplanaires.

    • Southward’il n’y a
    pas de solution, \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{Air-conditioning}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ne sont
    pas coplanaires.

    et donc A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

    Technique
    valable

    dans n’importe quel repère,
    orthonormé ou pas orthonormé.



Repère orthonormé de 50’espace


  • Un
    repère orthonormé, c’est quoi

    Un repère (\(\mathrm{O}\);\(\overrightarrow{\mathrm{OI}}\);\(\overrightarrow{\mathrm{OJ}}\);\(\overrightarrow{\mathrm{OK}}\))
    est
    orthonormé

    On dit aussi
    orthonormal



    lorsque:

    {

    les droites (OI), (OJ), (OK) sont deux à deux perpendiculaires

    les longueurs OI, OJ, OK sont égales à ane


  • Si Grand(\(x;y;z\)) alors OM=

    \(\mathrm{OM}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
    N’appliquer cette formule que dans united nations
    repère orthonormé


  • Si \(\vec u\)(\(ten;y;z\)) alors \(||\vec u||=\)

    \(||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
    N’appliquer cette formule que dans un
    repère orthonormé


  • Si A(\(x_A;y_A;z_A\)) et B(\(x_B;y_B;z_B\)) alors AB=

    \(\mathrm{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^two+(y_B-y_A)^two+(z_B-z_A)^ii}\)
    Northward’appliquer cette formule que dans un
    repère orthonormé


  • Quand doit-on utiliser united nations repère orthonormé

    – Pour calculer une
    longueur, une
    norme
    ou un
    produit scalaire
    avec des coordonnées,
    il faut utiliser
    repère orthonormé.

    – Dans les autres cas,
    aligné,
    coplanaire,
    milieu,
    centre de gravité,
    droites parallèles,
    on peut choisir
    n’importe quel repère, orthonormé ou pas.


Comment Savoir Si Des Vecteurs Sont Colinéaires

Source: http://www.jaicompris.com/lycee/math/espace/vecteur-espace.php

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