Calculer Le Sinus D Un Triangle Rectangle

Calculer Le Sinus D Un Triangle Rectangle

Sinus =
côté opposé / hypoténuse.

En géométrie, le
sinus
d’un bending dans united nations triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l’hypoténuse. La notion southward’étend aussi à tout angle géométrique (compris entre 0 et 180°). Dans cette acception, le sinus est un nombre compris entre 0 et 1. Si l’on introduit une notion d’orientation, les angles peuvent prendre n’importe quelle valeur positive ou négative, et le sinus est united nations nombre compris entre −1 et +i. Le sinus d’un angle

α

est noté
sin(α)
ou simplement
sin
α


[1]
.

En analyse, la
fonction sinus
est une fonction de la variable réelle qui, à chaque réel α, associe le sinus de l’bending orienté de mesure α radians. C’est une fonction impaire et périodique. Les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi géométriquement, mais les définitions plus modernes les caractérisent par des séries entières ou comme des solutions d’équations différentielles particulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et aux nombres complexes.

La fonction sinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l’année.

Origine du mot

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Le mot
sinus
est united nations mot latin désignant, entre autres, une cavité ou une poche
[2]
. C’est par une erreur de traduction qu’il a été attribué à la longueur d’un des côtés du triangle rectangle. La defoliation prend son origine dans le mot
jyā(en), qui signifie “corde”, utilisé en astronomie indienne pendant la période Gupta (dans le traité Surya Siddhanta).

Là où les géomètres grecs, tels Claude Ptolémée, avaient dressé des tables trigonométriques en calculant la longueur d’une corde sous-tendant un arc, les mathématiciens indiens décidèrent d’utiliser la demi-corde, soit
ardha-jyās
(ou
ardha-jiva
en sanskrit). Le mot fut bientôt abrégé en
jya
ou
jiva.

Au

VIII
e
 siècle, les Arabes traduisirent le mot
jiva
désignant la corde entière en
watar, mais gardèrent le mot indien
jiva
pour désigner la demi-corde, et l’arabisèrent sous la forme
جِيبٌ
jib
ou
jaib.

Vers le

XII
e
 siècle les traducteurs latins des travaux arabes, prenant le mot
جَيْبٌ
jaib
cascade son homonyme désignant une cavité ou un pli dans un vêtement, le traduisirent par le mot latin
sinus

[3]

,

[4]

,

[5]
.


Sinus d’un bending

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Sinus d’united nations bending géométrique

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Dans un triangle rectangle

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Le sinus d’un angle aigu non orienté de mesure

α

(en degrés entre 0 et 90°, en radians entre 0 et


π
/
ii

, en grades entre 0 et 100 gr) est un nombre réel positif compris entre 0 et ane. Il peut se définir dans un triangle rectangle arbitraire dont fifty’un des angles autre que l’angle droit a pour mesure

α
.

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :

  • l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit, une jambe de l’bending de mesure

    α

    et le côté le plus long du triangle ;
  • le
    côté opposé : c’est le côté opposé à l’bending de mesure

    α

    qui nous intéresse ;
  • le
    côté next : c’est le côté qui est une jambe de l’angle de mesure

    α
    , qui northward’est pas l’hypoténuse.

On notera :

h : la longueur de fifty’hypoténuse ;
o : la longueur du côté opposé.

Alors :





sin



α


=



c



o
^





t



eastward
´






o
p
p
o
southward



eastward
´







h
y
p
o
t



e
´





north
u
s
e



=


o
h




{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {due east}}\;oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {hypot{\acute {e}}nuse} }}={\frac {o}{h}}}



.

Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi avec un angle de mesure

α
, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.

Dans un triangle quelconque

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Dans united nations triangle quelconque, le sinus de l’angle ABC est égal au rapport de la hauteur issue de A par la longueur BA. Il est égal aussi au rapport de la hauteur issue de C par la longueur BC :





sin







A
B
C

^





=



h

A



B
A



=



h

C



B
C





{\displaystyle \sin {\widehat {ABC}}={\frac {h_{A}}{BA}}={\frac {h_{C}}{BC}}}



.

Le sinus d’united nations bending obtus est ainsi égal au sinus de fifty’angle supplémentaire.

La connaissance du sinus d’united nations bending permet de calculer 50’aire d’un triangle :





A
i
r
e
(
A
B
C
)
=


1
2


B
A
×


B
C
×


sin







A
B
C

^







{\displaystyle Aire(ABC)={\frac {ane}{2}}BA\times BC\times \sin {\widehat {ABC}}}



.

Réciproquement, le sinus d’un angle peut être calculé dès que 50’on connait les côtés et l’aire du triangle (l’aire d’un triangle peut se calculer par la formule de Héron, ou grâce au produit vectoriel) :





sin







A
B
C

^





=



2

A
i
r
eastward
(
A
B
C
)


B
A
×


B
C





{\displaystyle \sin {\widehat {ABC}}={\frac {2\,Aire(ABC)}{BA\times BC}}}



.

Les sinus des trois angles d’un triangle sont liés par la loi des sinus. Si l’on note
a,
b
et
c
les côtés opposés aux sommets A, B et C, et R le rayon du cercle circonscrit au triangle, on a :







a

sin






A
^








=


b

sin






B
^








=


c

sin






C
^








=
two
R


{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\lid {A}}}}={\frac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\lid {C}}}}=2R}



.


Repères historiques

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Des tables trigonométriques sont utilisées dans l’antiquité, en Mésopotamie, dans l’empire grec, et dans la péninsule indienne, en trigonométrie sphérique pour les calculs astronomiques. Pour eux, il southward’agit de longueurs associées à des arcs de cercles dont le rayon est donné. Les premières tables utilisent la corde d’united nations arc de cercle. 50’une de ces tables a été calculée par Hipparque au

2
e
 siècleav. J.-C.

[6]
, mais aucun exemplaire ne nous est parvenu. Celle de Claude Ptolémée figure dans son
Almageste
et son élaboration a pu s’inspirer de celle d’Hipparque. Les Indiens commencent par travailler eux aussi sur les tables de cordes qu’ils appellent
jya
ou
jiva. Ils préfèrent ensuite travailler sur une nouvelle quantité, plus simple pour les calculs, qui represent à la demi-corde de l’arc double. Ils appellent cette quantité
ardha-jya, soit la demi-corde, puis progressivement, le terme de
jya
s’impose pour la demi-corde de l’arc double. Le terme est alors repris par les arabes qui le translittèrent en
jiba
qui évolue en
jaib. Lors de la traduction des écrits arabes par Gérard de Crémone, ce terme subit une dernière modification : Gérard de Crémone le confond avec united nations terme arabe, de même consonance, qui a le sens de « sein », « anse » ou « cavité », et le traduit donc par le mot latin correspondant
sinus

[7]
.

Les premières tables de sinus connues sont celles des Siddhantas, notamment le Surya Siddhanta (fin du

IV
e
 siècle-début du

V
e
 siècle)
[8]

et celles d’Aryabhata au

Six
e
 siècle. Aryabatha function du principe que, pour la
24east

partie d’un quart de cercle, on peut confondre la longueur d’un arc et son sinus. Le tiers d’united nations quart de cercle stand for à un angle de
30
°, dont le sinus est évident : united nations demi-rayon. Cascade obtenir ensuite la
24e

partie du quart de cercle, il suffit de diviser three fois par 2 l’angle initial. Aryabhata est capable, grâce au théorème de Pythagore, de calculer le sinus de 50’bending moitié. Il prend un cercle de rayon 3 438, ce qui conduit, avec la valeur de π utilisée à fifty’époque (iii,141 6) à united nations cercle de circonférence 21 600 (on remarque qu’un angle plein correspond à
360
°
soit 21 600 minutes). Il donne, pour cette valeur du rayon, les 24 valeurs des sinus des arcs de longueurs
n × 225

[nine]
. Les Indiens fournissent également les tables de sinus pour des cercles de rayon sixty, 150, 120
[vi]
… Cette habitude de construire des tables de sinus correspondant à united nations cercle dont le rayon, fixé arbitrairement, est appelé «sinus total»
[x]
, perdure en Europe encore jusqu’à la fin du

Xviii
e
 siècle
[11]
.


Sinus d’un bending orienté

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sin(α)
est égal à 50’ordonnée du indicate du cercle situé sur la demi-droite faisant un angle α avec la demi-droite Ox (ordonnée indiquée en rouge).

Le sinus d’un bending orienté de mesure

α

est un nombre réel compris entre -1 et ane. Ici le plan est orienté dans le sens trigonométrique.

Le cercle unité est le cercle de rayon 1, centré à 50’origine
(0, 0)
d’un système de coordonnées cartésiennes.

Considérons fifty’intersection entre une demi-droite issue de 50’origine qui fait un angle de mesure

α

avec le demi-axe
(Oten), et le cercle unité. Alors la composante verticale de cette intersection est égale à
sin(α). Cette définition coïncide avec la précédente quand

α

est la mesure d’un angle saillant, orienté dans le sens positif, et on déduit celle-ci de la précédente en remarquant qu’un changement d’orientation de l’bending induit un changement de signe du sinus.

Il est possible de déterminer directement, à l’aide d’un déterminant, le sinus de l’angle orienté entre deux vecteurs dont on connait les coordonnées : pour







u






(
x
,
y
)


{\displaystyle {\vec {u}}(x,y)}




et







5






(

x


,

y


)


{\displaystyle {\vec {v}}(x’,y’)}



, on a :





sin










u






,



v







^





=



det
(



u






,



v






)








u















five












=



x

y





y

x







x

2


+

y

ii







x



2



+

y



2










{\displaystyle \sin {\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}={\frac {\det({\vec {u}},{\vec {v}})}{\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|}}={\frac {xy’-yx’}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {x’^{2}+y’^{2}}}}}}



.
Une telle égalité peut se démontrer si fifty’on considère comme acquise la formule trigonométrique du sinus d’une différence. Il suffit de poser





x
=
r
cos



θ



y
=
r
sin



θ




x


=

r


cos




θ






y


=

r


sin




θ






{\displaystyle x=r\cos \theta \quad y=r\sin \theta \quad x’=r’\cos \theta ‘\quad y’=r’\sin \theta ‘}





et de remarquer que








det
(



u






,



v






)








u















v












=



r
cos



θ




r


sin




θ







r
sin



θ




r


cos




θ






r

r





=
sin



(

θ







θ


)
=
sin



(







u






,



5







^





)


{\displaystyle {\frac {\det({\vec {u}},{\vec {5}})}{\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|}}={\frac {r\cos \theta \,r’\sin \theta ‘-r\sin \theta \,r’\cos \theta ‘}{rr’}}=\sin(\theta ‘-\theta )=\sin({\widehat {{\vec {u}},{\vec {five}}}})}



.

Fonction sinus

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Animation montrant le graphique de y = sin(ten) (où ten est l’angle en radians) sur le cercle unité.


Définitions

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À partir du cercle trigonométrique

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Si les angles orientés sont mesurés en radians, la fonction qui, au réel α, associe le sinus de fifty’angle orienté de mesure α radians est appelée la fonction sinus.

L’observation des propriétés géométriques des angles orientés permettent de déduire les identités
sin(−α) = −sin(α)
(la fonction sinus est donc impaire),
sin(α
+ π) = −sin(α)
, et
sin(α
+ 2π) = sin(α)

(la fonction sinus est donc périodique de période 2π).


À partir des séries entières

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En analyse, la fonction
sin
se définit sur l’ensemble ℝ des nombres réels par une série dont on montre qu’elle converge sur tout ℝ
[12]
 :





sin



x
=
x






ten

three



3
!



+



x

v



5
!



+



+
(



1

)

k





10

2
thou
+
i



(
2
chiliad
+
i
)
!



+



=





northward
=



+






(



1

)

n






10

2
due north
+
1



(
2
due north
+
ane
)
!





{\displaystyle \sin ten=10-{\frac {x^{iii}}{three!}}+{\frac {x^{five}}{5!}}+\cdots +(-1)^{yard}{\frac {ten^{2k+1}}{(2k+1)!}}+\cdots =\sum \limits _{north=0}^{+\infty }{(-ane)^{northward}}{\frac {10^{2n+1}}{(2n+1)!}}}



 ;

on montre également que cette définition coïncide avec la précédente
[réf. souhaitée]
quand les angles sont mesurés en radians.

La périodicité, la dérivabilité et la continuité s’établissent alors par la théorie des séries, de même que les formules d’Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle, ainsi que l’identité d’Euler. Cette définition est souvent utilisée comme signal de départ dans les traités rigoureux d’analyse et permet la définition du nombre
π.

La définition utilisant les séries permet de prolonger la fonction sinus en une fonction analytique dans tout le plan complexe.


Comme solution d’une équation différentielle

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La série entière précédente est l’unique solution du problème de Cauchy :






y


=



y
,

y
(

)
=

,


y


(

)
=
1


{\displaystyle y”=-y,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=i}



,

qui constitue donc une définition équivalente de la fonction sinus.


Propriétés

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Réciproque

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Représentation graphique de la fonction arc sinus.

Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives (ni même injectives, puisqu’elles sont périodiques) ; elles northward’admettent donc pas de bijections réciproques. En les restreignant à certains intervalles de départ et d’arrivée, les fonctions trigonométriques peuvent réaliser des bijections. Fifty’application réciproque arcsin est définie par :

pour tous réels

x

et

y
 :





y
=
arcsin



x


{\displaystyle y=\arcsin ten}



si et seulement si





sin



y
=
10

 et






π


ii





y





π


2




{\displaystyle \sin y=x{\text{ et }}-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{ii}}}



.

La fonction
arcsin
est donc une bijection de
[–i, 1]
sur
[–π/2, π/ii]
et vérifie








x



[



1
,
1
]

sin



(
arcsin



x
)
=
x


{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \sin(\arcsin x)=ten}



et








y




[






π


ii


,


π


two



]


arcsin



(
sin



y
)
=
y


{\displaystyle \forall y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\quad \arcsin(\sin y)=y}



.


Dérivée

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La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus :







sin


=
cos


{\displaystyle \sin ‘=\cos }



.

Cette propriété est immédiate avec les définitions à partir des séries entières des fonctions sinus et cosinus. On en déduit en particulier que






lim

θ











sin



θ



θ




=

sin






=
cos




=
1


{\displaystyle \lim _{\theta \rightarrow 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=\sin ‘0=\cos 0=1}



.

On pourra également trouver une justification géométrique de cette limite (cf. § « Limites ») dans :


Intégrale

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Une archaic de
sin
est
–cos, ce qui s’écrit :









cos


=
sin
.


{\displaystyle -\cos ‘=\sin .}





Autrement dit : cascade tout

10

,











ten






x


sin



t



d


t
=



cos



x
+
C


{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\sin t~{\rm {d}}t=-\cos 10+C}



,






C
=
cos




x






{\displaystyle C=\cos x_{0}}




est la « constante d’intégration ».

Limites

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  • lim

    θ











    sin



    θ



    θ




    =
    ane


    {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1}




    (voir
    supra
    ).






  • lim

    θ





    +








    sin



    θ



    θ




    =



    {\displaystyle \lim _{\theta \to +\infty }{\frac {\sin \theta }{\theta }}=0}



    .


Valeurs particulières

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Représentation graphique de la fonction sinus.

Quelques angles communs (θ) sur le cercle unité. Les angles sont indiqués en degrés et en radians, ainsi que leur intersection avec le cercle unité (cosθ,
sinθ
).

Les valeurs figurant dans le tableau ci-dessous contributor à des angles pour lesquels une expression à l’aide de racines carrées est possible, et plus précisément pour lesquels le théorème de Wantzel southward’applique ; pour plus de détails, voir l’article Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques.

x
(angle)
sin
x
y
(angle supplémentaire)
Degrés Radians Grades Exacte Décimale Degrés Radians Grades
0 g 0 0 180°




π




{\displaystyle \pi }



200g
15°






π


12




{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}



16
two3

g









6







2



4




{\displaystyle {\frac {{\sqrt {six}}-{\sqrt {2}}}{iv}}}



0,258819045102521 165°







11
π



12




{\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}



183
1iii

g
18°






π


10




{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}



20g









5





1

4




{\displaystyle {\frac {{\sqrt {five}}-1}{four}}}



0,309016994374947 162°







9
π



x




{\displaystyle {\frac {9\pi }{10}}}



180g
thirty°






π


6




{\displaystyle {\frac {\pi }{half dozen}}}



33
1iii

one thousand






1
ii




{\displaystyle {\frac {1}{2}}}



0,5 150°







five
π



6




{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}



166
ii3

g
36°






π


5




{\displaystyle {\frac {\pi }{v}}}



xlg







10



2


5



4




{\displaystyle {\frac {\sqrt {ten-ii{\sqrt {5}}}}{4}}}



0,5877852523 144°







4
π



5




{\displaystyle {\frac {4\pi }{5}}}



160thou
45°






π


4




{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}



50g







2

2




{\displaystyle {\frac {\sqrt {two}}{ii}}}



0,707106781186548 135°







3
π



4




{\displaystyle {\frac {3\pi }{four}}}



150g
54°







three
π



10




{\displaystyle {\frac {three\pi }{x}}}



60thou







1
+


5



4




{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {v}}}{four}}}



0,809016994374947 126°







7
π



ten




{\displaystyle {\frac {seven\pi }{10}}}



140g
60°






π


3




{\displaystyle {\frac {\pi }{three}}}



66
23

m







3

2




{\displaystyle {\frac {\sqrt {iii}}{2}}}



0,866025403784439 120°







2
π



3




{\displaystyle {\frac {ii\pi }{3}}}



133
13

g
75°







5
π



12




{\displaystyle {\frac {five\pi }{12}}}



83
1three

g









6


+


2



4




{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}



0,965925826289068 105°







7
π



12




{\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}



116
23

m
ninety°






π


ii




{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}



100g i 1

Relation avec les nombres complexes

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Le sinus est utilisé pour déterminer la partie imaginaire d’united nations nombre complexe

z

donné en coordonnées polaires, par son module

r

et son statement
φ :






z
=
r
(
cos



φ


+


i


sin



φ


)


{\displaystyle z=r(\cos \varphi +{\rm {i}}\sin \varphi )}






i
désigne l’unité imaginaire.

La partie imaginaire de

z

est







I
m


(
z
)
=
r
sin



φ


.


{\displaystyle {\rm {Im}}(z)=r\sin \varphi .}




En particulier





sin



φ


=
Im



(



e





i


φ




)
.


{\displaystyle \sin \varphi =\operatorname {Im} ({\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }).}



Sinus avec united nations statement complexe

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La définition de la fonction sinus comme série entière southward’étend telle quelle à des arguments complexes

z

et donne une fonction entière :









sin



z



=





n
=











(



1

)

n




(
two
n
+
1
)
!




z

ii
northward
+
i








=






e





i


z








e








i


z




2


i












=



sinh




(



i


z

)



i









{\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sum _{northward=0}^{\infty }{\frac {(-ane)^{northward}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}-{\rm {due east}}^{-{\rm {i}}z}}{2{\rm {i}}}}\,\\&={\frac {\sinh \left({\rm {i}}z\right)}{\rm {i}}}\end{aligned}}}



ou encore :





sin



(


i


z
)
=


i


sinh



z


{\displaystyle \sin({\rm {i}}z)={\rm {i}}\sinh z}



,


sinh
désigne la fonction sinus hyperbolique.

Il est parfois utile de l’exprimer en termes des parties réelle et imaginaire de son argument : pour

x

et

y

réels,









sin



(
x
+


i


y
)



=
sin



ten
cos





i


y
+
cos



x
sin





i


y






=
sin



x
cosh



y
+


i


cos



ten
sinh



y
.






{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+{\rm {i}}y)&=\sin x\cos {\rm {i}}y+\cos 10\sin {\rm {i}}y\\&=\sin x\cosh y+{\rm {i}}\cos 10\sinh y.\finish{aligned}}}




Fraction partielle et développement en série du sinus complexe

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Utilisant la technique de développement en éléments simples(en)
d’une fonction méromorphe, on peut trouver la série infinie :







π



sin



π


z



=





n
=
















(



1

)

northward




z



n



=


1
z





2
z





north
=
1










(



1

)

northward





due north

2






z

2







{\displaystyle {\frac {\pi }{\sin \pi z}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{due north}}{z-north}}={\frac {ane}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{two}-z^{2}}}}



.

On trouve de même








π



2




sin

2





π


z



=




















1

(
z



north

)

2







{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{two}\pi z}}=\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{two}}}}



.

Utilisant la technique de développement du produit, on peut en tirer





sin



π


z
=
π


z





due north
=
1








(

1






z

2



n

2





)



{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{north=i}^{\infty }\left(i-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\correct)}



.

Utilisation du sinus complexe

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sin
z

se trouve dans 50’équation fonctionnelle cascade la fonction gamma, appelée formule des compléments,





Γ


(
s
)
Γ


(
1



south
)
=


π



sin



π


s



,


{\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-due south)={\pi \over \sin \pi south},}



laquelle se trouve à son tour dans l’équation fonctionnelle pour la fonction zêta de Riemann,





ζ


(
s
)
=
2
(
ii
π



)

s



1


Γ


(
1



southward
)
sin



(
π


s

/

two
)
ζ


(
1



due south
)


{\displaystyle \zeta (due south)=two(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin(\pi s/2)\zeta (one-due south)}



.

Comme toute fonction holomorphe,
sin
z

est harmonique, c’est-à-dire solution de l’équation de Laplace à deux dimensions :





Δ


u
(
x
,
y
)
=



{\displaystyle \Delta u(ten,y)=0}



.

Graphiques complexes

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Fonction sinus dans le plan complexe

Complex sin real 01 Pengo.svg

Complex sin imag 01 Pengo.svg

Complex sin abs 01 Pengo.svg

partie réelle partie imaginaire module
Fonction arc sinus dans le plan complexe

Complex arcsin real 01 Pengo.svg

Complex arcsin imag 01 Pengo.svg

Complex arcsin abs 01 Pengo.svg

partie réelle partie imaginaire module


Calcul numérique

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Il due north’y a pas d’algorithme normalisé pour calculer le sinus ou le cosinus ; en particulier, la norme IEEE 754-2008 n’en fournit aucun
[xiii]
. Le choix d’un algorithme est united nations compromis entre rapidité, précision et étendue des entrées, en particulier la possibilité de calculer la valeur cascade de grands nombres (grands devant 2π radians ou 360 degrés). Le développement en série est très peu utilisé car peu performant.

Une méthode courante consiste à précalculer des valeurs et à les stocker dans une table de correspondance ; la valeur renvoyée par la fonction est alors la valeur correspondant à l’entrée la plus proche du tableau, ou bien l’interpolation linéaire des deux valeurs encadrant 50’bending considéré. Cette méthode est très utilisée pour la génération d’images de synthèse 3D.

Les calculatrices scientifiques utilisent en général la méthode CORDIC.

Dans un sure nombre de cas, les fonctions mises en œuvre expriment l’angle d’entrée sous la forme du nombre de demi-tours plutôt qu’en radians (un demi-tour valant π radians). En effet, π est un nombre irrationnel, sa valeur présente donc des erreurs d’arrondi quelle que soit la base ; on commet ainsi moins d’erreur en entrée en parlant de 0,25 demi-tour qu’en parlant de π/4 radians.

Bibliographie

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    Jerrold
    Marsden
    et Alan
    Weinstein,
    chap. 5
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    Calculus I, Springer,

    (présentation en ligne, lire en ligne),
    p. 231-306


Notes et références

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  1. La notation avec parenthèses est toujours correcte. La notation plus concise n’est acceptable que si l’argument est unproblematic : on peut écrire
    sin(α)
    ou
    sin
    α
    , mais obligatoirement
    sin(twoα) et
    sin(α
    +
    β)

    .


  2. On trouve ce sens en anatomie, par exemple pour le sinus maxillaire





  3. (en)
    Carl B.
    Boyer
    et Uta
    Merzbach,
    A History of Mathematics, John Wiley & Sons,
    ,
    3e
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    (onere
    éd.
    1968), 688p.
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  4. (en)
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  5. Alain Rey,
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  6. a et b



    Marie-Thérèse Debarnot (dir.),
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    Histoire des sciences arabes : Mathématiques et physique,
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    ,

    p. 163






  7. (en)
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    (lire en ligne, consulté le
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    ,

    p. 40






  8. (en)
    Uta C. Merzbach et Carl B. Boyer,
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    éd.
    1968), 688p.
    (ISBN978-0-470-63056-3, lire en ligne),
    chap. ten
    (« Ancient and Medieval India, § The siddhantas »)



    .




  9. Kim Plofker (dir.),
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    The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, Republic of india, and Islam : A sourcebook, Princeton University Printing,



    ,

    p. 407-409





  10. Jean-Pierre Friedelmeyer (dir.),
    « Contexte et raisons d’une mirifique invention », dans
    Histoire des logarithmes, Ellipses,

    (ISBN9782729830274)


    ,

    p. 43



  11. Voir par exemple la
    Table trigonométrique décimale
    de Jean-Charles de Borda où est expliqué

    p. 40

    que logarithme décimal du centième d’un quart de cercle (soit one grade) vaut 8,196111, ce qui correspond à un cercle de rayon ten10, et qui évalue

    p. 29
    , le logarithme décimal du sinus de 69,48 grades à environ ix,948 soit united nations sinus de 8 871 560 120.


  12. Voir par exemple

    F. Dupré, «Préparation à 50’agrégation interne – Trigonométrie »
    .




  13. Paul
    Zimmermann, «Canwe trustfloating-pointnumbers? »,
    Grand Challenges of Informatics,‎
    ,
    p. xiv
    (lire en ligne)





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Calculer Le Sinus D Un Triangle Rectangle

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Sinus_(math%C3%A9matiques)#:~:text=En%20g%C3%A9om%C3%A9trie%2C%20le%20sinus%20d,la%20longueur%20de%20l’hypot%C3%A9nuse.

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