Comment Calculer Un Angle Dans Un Triangle Rectangle

Comment Calculer Un Angle Dans Un Triangle Rectangle

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L’aire d’un triangle
est, en géométrie euclidienne, une mesure de la surface plane déterminée par trois points et les segments joignant ces points. L’intérêt de l’aire d’un triangle provient du fait que tout polygone peut être scindé en triangles. Il existe plusieurs méthodes de calcul de cette aire, suivant ce qui est connu du triangle, la plus connue étant celle utilisant une hauteur
h
et la base of operations
b
associée :





S
=



b
×


h

two


.


{\displaystyle S={\frac {b\times h}{2}}.}



Une autre formule, dite formule de Héron, permet le calcul de l’aire connaissant les longueurs des trois côtés
a,
b
et
c
d’united nations triangle et donc aussi leur demi-somme
p :





S
=


p
(
p



a
)
(
p



b
)
(
p



c
)


.


{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}



Un triangle de côtés
a
et
b
formant un angle
γ
au sommet C.

Elle peut se déduire de la loi des sinus, fifty’aire du triangle étant déduite d’un angle et de ses côtés adjacents. Si les deux côtés adjacents au sommet C d’un triangle ont pour longueur
a
et
b
et si l’angle en C a pour mesure
γ, alors 50’aire est donnée par :





S
=


1
2


a
b
sin



γ


.


{\displaystyle S={\frac {1}{ii}}ab\sin \gamma .}




Calcul de l’aire

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À partir d’une hauteur

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L’aire d’un triangle peut être calculée en le décomposant en deux triangles rectangles.

Si le triangle est rectangle, il est immédiat que son aire est






S
=




a
h

2



,


{\displaystyle S={\dfrac {ah}{ii}},}





a
est la longueur d’un côté différent de 50’hypoténuse et
h
la longueur de la hauteur issue de ce côté. Si le triangle n’est pas rectangle, la relation reste vraie, car le triangle se décompose en deux triangles rectangles (comme sur la figure).


Démonstration par la méthode du cisaillement

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À partir de la formule donnant l’aire d’un rectangle, Euclide démontre d’une part (proposition
XXXV
du premier livre des
Éléments) :
« Les parallélogrammes constitués sur une même base of operations, et entre mêmes parallèles, sont égaux
[1]

entre eux. »

d’autre role (proposition
XLI) :
« Si un parallélogramme, et un triangle ont une même base of operations, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera double du triangle. »


À partir des longueurs des trois côtés

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Pour une expression de l’aire d’united nations triangle dont les longueurs des côtés sont
a, b
et
c
et le
demi-périmètre




p
=




a
+
b
+
c

2





{\displaystyle p={\dfrac {a+b+c}{2}}}



, on peut utiliser la formule de Héron :






S
=



1
4





(
a
+
b
+
c
)
(



a
+
b
+
c
)
(
a



b
+
c
)
(
a
+
b



c
)


=


p
(
p



a
)
(
p



b
)
(
p



c
)


.


{\displaystyle S={\dfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}





À partir des coordonnées des sommets

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L’aire d’un triangle est calculée à partir d’united nations parallélogramme.

L’aire du parallélogramme défini par deux vecteurs






u







{\displaystyle {\overrightarrow {u}}}



,






v







{\displaystyle {\overrightarrow {v}}}




est la norme de leur produit vectoriel :







Southward

p


=





u










five








.


{\displaystyle S_{p}=\left\|{{\overrightarrow {u}}\wedge {\overrightarrow {v}}}\right\|.}




On peut calculer l’aire d’un triangle à partir de cette formule :






Southward
=



1
ii









A
B












A
C









.


{\displaystyle S={\dfrac {1}{two}}\left\|{{\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}}\right\|.}




Un repère orthonormé étant donné, 50’aire du triangle
ABC
peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.

Dans le plan, si les coordonnées de
A,
B
et
C
sont données par




A
(

x

A


,

y

A


)


{\displaystyle A(x_{A},y_{A})}



,




B
(

ten

B


,

y

B


)


{\displaystyle B(x_{B},y_{B})}




et




C
(

x

C


,

y

C


)


{\displaystyle C(x_{C},y_{C})}



, alors l’aire
Southward
est la moitié de la valeur absolue du déterminant





S
=



1
ii




|

det


(




x

B






x

A





x

C






x

A







y

B






y

A





y

C






y

A





)



|

=



ane
2




|

(

ten

B






x

A


)
(

y

C






y

A


)



(

10

C






x

A


)
(

y

B






y

A


)

|

.


{\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\brainstorm{pmatrix}x_{B}-x_{A}&x_{C}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{C}-y_{A}\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})|.}



L’aire du triangle
ABC
peut aussi se calculer à partir de la formule





S
=



i
two




|

det


(




x

A





ten

B





x

C







y

A





y

B





y

C






1


1


1



)



|

=



one
2





|



x

A



y

C






x

A



y

B


+

x

B



y

A






x

B



y

C


+

x

C



y

B






x

C



y

A




|


.


{\displaystyle Southward={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&ane\terminate{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{ii}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}.}



Cette méthode se généralise en trois dimensions. L’aire du triangle
ABC





A
=
(

x

A


,

y

A


,

z

A


)


{\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}



,




B
=
(

x

B


,

y

B


,

z

B


)


{\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}




et




C
=
(

x

C


,

y

C


,

z

C


)


{\displaystyle C=(x_{C},y_{C},z_{C})}




due south’exprime comme





S
=


1
two






(

det


(




10

A





x

B





x

C







y

A





y

B





y

C






ane


one


1



)



)


ii


+


(

det


(




y

A





y

B





y

C







z

A





z

B





z

C






one


1


1



)



)


2


+


(

det


(




z

A





z

B





z

C







ten

A





ten

B





10

C






ane


i


1



)



)


2




.


{\displaystyle S={\frac {1}{two}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&one\stop{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&i&1\end{pmatrix}}\correct)^{2}+\left(\det {\brainstorm{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\one&i&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}.}



Notes

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  • Cet commodity est partiellement ou en totalité issu de l’article intitulé «Théorème de Pythagore »
    (voir
    la liste des auteurs)

    .
  • Cet commodity est partiellement ou en totalité issu de l’article intitulé «Triangle »
    (voir
    la liste des auteurs)

    .


  1. En langage actuel, on parlerait d’une égalité des aires plutôt que d’une égalité entre figures.

Voir aussi

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Articles connexes

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  • Formulaire de géométrie classique
  • Théorème de Routh
  • Due south = rp : l’aire du triangle est le produit du rayon du cercle inscrit par le demi-périmètre.

Lien externe

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Outil de calcul en ligne de 50’aire du triangle



  • icône décorative

    Portail de la géométrie



Comment Calculer Un Angle Dans Un Triangle Rectangle

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Aire_d%27un_triangle

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