Tableau De Variations Polynome Du Second Degré

Tableau De Variations Polynome Du Second Degré

Sommaire

United nations polynôme, qu’est-ce-que c’est ?
Représentation graphique
Racines d’united nations polynôme
Calcul des racines
Factorisation de polynôme
Tableau de signe
Sommet de la parabole et tableau de variation
La forme canonique
Exercices
Intérêt des polynômes

Introduction

Ce chapitre est fondamental car on trouve des polynômes du second degré partout et tout le temps !!
On en trouve notamment en physique, et les études de fonction comportent souvent de telles fonctions.
Retiens donc bien tout ce qui va suivre

Un polynôme, qu’est-ce-que c’est ?

Un polynôme, c’est une fonction f de la forme :

où a, a1, aii… sont des réels. On les appelle les coefficients.

Par exemple :

Par contre, dès qu’il y a des racines ou des fractions, ce n’est plus une fonction polynôme^^
A chaque fois il y a bien sûr une puissance de x la plus grande. Par exemple dans



c’est le x7
le plus grand



c’est le xhalf-dozen
le plus grand



c’est le x4
le plus chiliad

C’est ce qu’on appelle le DEGRE du polynôme.
Dans les exemples, le 1er polynôme est donc de degré 7, le 2ème de degré 6, le 3ème de degré 4

Nous allons nous intéresser aux polynômes de degré two, c’est-à-dire ceux de la forme :

On a fait exprès de noter les coefficients a, b et c, ce sera plus unproblematic pour la suite.
On appelle ces fonctions des polynômes du 2nd degré.

Représentation graphique

Haut de folio

Il est tout d’abord important de savoir à quoi cela ressemble une fois tracé.
United nations polynôme du second degré est une parabole, tournée vers le haut ou vers le bas :

Mais comment sait-on si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?
C’est très facile, on regarde le signe de a !!!
(on rappelle que a est le coefficient de x2)

Exemple :

Ici a = 3 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut.

Ici a = -five < 0, donc la parabole est tournée vers le bas.


ATTENTION !! Il faut bien regarde le coefficient de x2
!!
Or ce n’est pas forcément le 1er dans la fonction.
Exemple :


Ici a = +3 !!
Beaucoup disent a = -5 machine c’est le premier coefficient que l’on voit mais -five est le coefficient de ten et non celui de xtwo

Racines d’united nations polynôme

Haut de page

Les racines d’un polynôme, qu’es-ce-que c’est ?
Non ce north’est pas ce qui pousse dans la terre^^ Cela northward’a rien à voir non plus avec la fonction racine carrée.
Les racines d’un polynôme, ce sont les valeurs pour lesquelles un polynôme s’annule, c’est-à-dire f(10) = 0.

Graphiquement, cela correspond aux valeurs pour lesquelles la courbe coupe l’axe des abscisses :

Par exemple :

Remplaçons ten par ane :

Donc one est une racine de f !!

De même avec two :

Donc ii est aussi racine de f !

Mais il pourrait y en avoir d’autres… sauf qu’un polynôme du second degré a AU PLUS 2 racines !!
En effet, il peut en avoir 0, 1 ou 2.
Ceci se voit très bien graphiquement, nous allons faire un tableau récapitulatif :

Un polynôme du 2nd degré a donc 0, 1 ou 2 solutions.

Popular:   Voyage Au Bout De La Nuit Mouvement Littéraire

En fait il y a un théorème plus général :

Ainsi, un polynôme de degré 8 a AU PLUS 8 racines, il peut en avoir 8, vii, 6, 5, 4, three, two, 1, ou 0 !!
United nations polynôme de degré 12 a AU PLUS 12 racines, etc…

Un polynôme de degré 2 a donc au plus 2 racines ! Ce que l’on voit bien graphiquement avec le tableau ci-dessus.

Calcul des racines d’un polynôme du 2nd degré

Haut de page

Maintenant il s’agit de savoir comment trouver ces racines !
Bien sûr on ne va pas s’amuser à calculer ce que vaut la fonction cascade chaque x… il y a des formules toutes faites !!

On rappelle que l’on a

Il y a alors 2 étapes :

1) On calcule le discriminant, que l’on appelle aussi le delta (la lettre Δ en grec) avec la formule suivante :

C’est une formule à apprendre PAR COEUR !!!

La règle est alors la suivante :

On peut résumer avec ce tableau :

2) La 2ème étape consiste à calculer les racines s’il y en a.
Les formules sont les suivantes :
Dans le cas où il y a une seule solution, nous l’appellerons x1

Dans le cas où il y a ii solutions, nous les appellerons 10one
et 102.

Ces formules sont également à apprendre par coeur !!
Pour xii, la seule chose qui change est le -√ Δ au lieu du +√ Δ : facile à retenir^^


ATTENTION à fifty’ordre des coefficients !!!
Le a est bien le coefficient du x2, le b le coefficient du x et le c le coefficient constant !
Si on a f(10) = -3x + 4 – 5xii, il est conseillé de remettre d’abord dans l’ordre avant de faire les calculs :
on écrit f(ten) = – 5x2
-3x + 4, comme ça on voit bien que a = -5, b = -3 et c = 4.

Evidemment c’est avec fifty’entraînement que ça rentrera dans ta tête, à la fin ça deviendra évident pour toi

Mais avant de passer aux exercices en vidéo, une petite remarque :
Pour le cas où Δ = 0, ce n’est pas une autre formule que pour le cas Δ > 0.
En effet, si dans les formules de x1
et xii
tu remplaces Δ par 0, on trouve la même formule : -b/2a, qui est la formule du x1
pour Δ = 0.

En fait, quand il y a une seule solution, c’est comme s’il y avait 2 solutions confondues, c’est cascade cela qu’on dit que c’est une racine DOUBLE dans le cas où il y a une seule solution, car c’est comme si il y avait 2 solutions superposées.
Si tu n’as pas compris cette petite remarque ce due north’est pas grave^^

Entraîne-toi avec ces calculs de racines de polynôme, c’est la meilleure façon d’apprendre comment faire et de retenir les formules !
Surtout qu’il y a pas mal d’exemples, alors profites-en !

Factorisation de polynômes

Haut de page

Une fois que tu equally calculé les racines d’united nations polynôme, il y a quelque chose de très simple que tu peux faire : factoriser le polynôme !

Le principe est le suivant : supposons que tu as f(x) = axtwo
+ bx + c, et que tu as calculé les 2 racines 101
et xtwo

Tu peux alors dire que :

Popular:   Poesie Le Monstre J Ai Dessiné Un Monstre Affreux

Ainsi, quand tu dois factoriser un polynôme, il suffit de calculer les racines puis d’appliquer la formule ci-dessus.
Evidemment si le polynôme n’a pas de racine on ne peut pas factoriser le polynôme^^


ATTENTION !! Ne pas oublier le a dans la formule !!!
Beaucoup pensent que la formule est f(x) = (ten – 101)(x – 102), mais il ne faut oublier le a devant…

Exemple : f(x) = 4x2
– 4x – 24.
On calcule d’abord les racines : Δ = b2
– 4ac – = (-4)ii
– 4 × iv × (-24) = 400
400 > 0 donc il y a 2 racines :
tenane
= (-b + √Δ)/2a = 3
102
= (-b – √Δ)/2a = -2
(tu peux t’amuser à développer le calcul pour vérifier
)

On a alors plus qu’à appliquer la formule :
Comme f(ten) = 4x2
– 4x – 24, on a a = 4, d’où :

f(x) = a(10 – x1)(ten – x2) = 4(10 – iii)(x – (-ii)) = 4(x – 3)(10 + 2)

Et voilà, comme tu le vois une fois que tu connais la formule et que tu sais calculer les racines, il northward’y a aucun souci


ATTENTION !! Dans l’exemple il y a une racine négative (-2), donc au terminal on a x « + » two.
Ce n’est pas parce qu’il y a 10 – x1
ou x – x2
dans la formule qu’on aura forcément « – » au concluding, tout dépend du x1
et du 102.
Nous reparlons de cela dans la vidéo d’exercices.

Si maintenant Δ < 0, que se passe-t-il ? Et bien on a vu qu’à ce moment-là il n’y a pas de racine donc il due north’y a pas de forme factorisée !!

Dernière chose avant les exercices : si Δ = 0, on a dit qu’il n’y avait qu’une seule racine : x1.
Mais alors comment on applique la formule ????
Et bien comme on a dit que c’était une racine DOUBLE, en fait le x2
est égal au 101.
On a donc f(x) = a(ten – xone)(x – x1)
Ce qui donne f(x) = a(x – x1)ii

Ainsi :



Puisqu’on en parle, voici justement quelques exercices de factorisation de polynômes pour t’entraîner à factoriser rapidement un polynôme du 2d degré.

Tableau de signe

Haut de folio

Une des choses que tu auras souvent à faire avec les polynômes du second degré, c’est leur tableau de signe !!
Tu vas voir que c’est très unproblematic

Le plus uncomplicated c’est quand il y a 0 ou 1 solution, car la fonction ne modify pas de signe !!

On remarque que tout dépend du signe de a !
Si a est positif, la fonction est positive.
Si a est négatif, la fonction est négative !!



——————————————————————————————————-

C’est vraiment trop simple


Attention à bien mettre la valeur pour laquelle la fonction s’annule dans le cas où il y a i solution.

Mais ce n’est pas le cas que 50’on rencontre le plus souvent. Généralement il y a two racines.

Tu equally peut-être remarqué qu’on peut en déduire une propriété valable pour tous les cas :

Ca donne donc cela :

Evidemment, c’est encore une fois en faisant plein d’exercices sur le tableau de signe que tu pourras t’améliorer

Sommet de la parabole et tableau de variation

Haut de page

Popular:   Comment Résoudre Une Équation Du Second Degré Sans Discriminant

Pour chaque parabole, il y a ce qu’on appelle le sommet, c’est-à-dire le betoken où la fonction est maximum ou minimum :

Ce point est souvent noté S (Southward comme sommet évidemment^^).
L’abscisse de ce point, que nous noterons donc xS, a pour formule :

On remarque que c’est la formule de tout à l’heure pour le cas où il n’y avait qu’une racine^^
Graphiquement ça donne cela :

On voit alors quelque chose de très simple :
Si a > 0, la fonction est décroissante sur ]-∞ ; xS[, et croissante sur ]tenSouthward
; +∞[
Si a < 0, la fonction est croissante sur ]-∞ ; 10South[, et décroissante sur ]xS
; +∞[ (l’inverse quoi^^)

On peut donc construire les tableaux de variations dans les 2 cas :

Il manque la valeur de f en xDue south
et les limites en +∞ et -∞ mais tu n’as peut-etre pas encore vu ces notions. Ce n’est pas grave, ce n’est pas le plus dur^^

Fais ces exercices sur les variations d’un polynôme pour maîtriser ce dernier élément du chapitre.

La forme canonnique

Haut de page

La forme canonique qu’est-ce que c’est ?
C’est tout simplement une autre manière d’écrire un polynôme du 2d degré.
On a vu qu’il y avait la forme développée, la forme factorisée et enfin nous allons voir la forme canonique. La formule est la suivante :

Mais à quoi contributor ce α et ce β ?? (alpha et béta)
Et bien ils correspondent aux coordonnées du sommet de la parabole (que l’on a vu juste avant).

Ainsi :

Ok mais alors concrètement que faut-il faire pour calculer la forme canonique ?
Un petit exemple s’impose

Imaginons que l’on ait f(x) = 3x2
+ 4x – v
On a donc a = 3, b = four et c = -5
On va d’abord calculer α, puis β, et enfin remplacer tout ça dans la formule.

Puis on calcule β :

Il ne reste plus qu’à remplacer dans la formule :

Et voilà, on a trouvé la forme canonique de la fonction f

Exercices et résumé de cours

Maintenant que les polynômes du second degré northward’ont plus de underground pour toi, entraîne-toi avec ces exercices sur les polynômes du 2nd degré.

Nous te proposons également un résumé du cours en vidéo :

Intérêt des polynômes

Les polynômes se trouvent souvent dans les études de fonctions, ce sont des fonctions « de base ».
Les polynômes du second degré sont surtout intéressants à étudier machine on peut calculer leur sommet, leurs variations, leurs racines, leurs signes, etc… d’une manière elementary, une fois qu’on connaît la méthode, contrairement aux fonctions de degré supérieur.

De plus, on retrouve les polynômes du 2d degré en physique, notamment en Terminale quand on étudie la trajectoire d’un projectile. En effet, si tu lances une balle devant toi vers le haut, elle aura une trajectoire parabolique, et on aura donc une équation du secon degré.

Retiens donc bien ce chapitre avec les formules et les différentes propriétés car tu es susceptible de les revoir souvent !

Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la folio



Tableau De Variations Polynome Du Second Degré

Source: https://www.methodemaths.fr/polynome_second_degre/

Ce site utilise des cookies pour améliorer la convivialité. Vous acceptez en utilisant le site Web plus loin.

Politique de confidentialité des cookies