Cote Oppose Dans Un Triangle Rectangle

Cote Oppose Dans Un Triangle Rectangle

Fiche explicative de la leçon : Trigonométrie dans un triangle rectangle : déterminer la longueur d’united nations côté


Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre annotate déterminer la longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné.

Rappelons qu’un rapport trigonométrique est un rapport des longueurs de deux côtés différents d’un triangle rectangle et que le groupe de tous les rapports trigonométriques représente la trigonométrie des triangles rectangles. Quand il due south’agit de la trigonométrie des triangles rectangles, il est utile de se rappeler de l’acronyme « SOH CAH TOA ». Il nous aide à nous souvenir des définitions des rapports trigonométriques – sinus, cosinus et tangente – en fonction des côtés par rapport à un angle que nous appelons le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. Indiquons ces rapports ici.

Définition : Rapports trigonométriques

L’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle (directement opposé à fifty’bending droit), le côté opposé est le côté directement opposé à l’angle en question, et le côté side by side est le côté à côté de l’angle (qui due north’est pas l’hypoténuse).

Quand on nous donne la longueur d’un côté du triangle rectangle et un angle
𝜃
dans le triangle rectangle, différent de l’angle droit, on peut utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour calculer les longueurs des côtés restants. Nous avons trois choix différents pour les rapports trigonométriques:sinus, cosinus et tangente. En fonction des informations données d’united nations angle et d’un côté, nous devrons décider le rapport trigonométrique à utiliser. Par exemple, considérons une state of affairs où nous devons déterminer la longueur de 50’hypoténuse lorsqu’on nous donne united nations angle
𝜃
et la longueur du côté opposé du triangle rectangle;dans ce cas, nous devrons utiliser le rapport trigonométrique qui relie fifty’hypoténuse et les côtés opposés du triangle rectangle, qui est le sinus.

Lorsque nous effectuons ces calculs, nous avons souvent besoin d’utiliser des calculatrices pour déterminer les valeurs des rapports trigonométriques. Mais, si l’unité de la calculatrice pour l’angle est définie en
radians
quand on use united nations angle donné en
degrés
, alors la calculatrice donnera une valeur incorrecte cascade le rapport trigonométrique. La plupart des calculatrices scientifiques capables de calculer les rapports trigonométriques auront united nations paramètre par défaut pour les unités angulaires et aussi une option cascade échanger entre
radians
et

degrés.
Nous devons toujours nous assurer que notre calculatrice est réglée sur la même unité que celle utilisée pour chaque problème.

Dans notre premier exemple, nous allons trouver la longueur du côté opposé étant donnés un angle et la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

Exemple 1: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où fifty’inconnue est au numérateur de la fraction

Déterminez
𝑥
au centième près.

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Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs des triangles rectangles consiste à étiqueter les côtés par rapport à 50’bending connu, dans ce cas, l’angle mesurant

5 5 .

Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’étiqueter le côté side by side auto notre but northward’est ni de connaître sa longueur ni de chercher à la trouver. Les côtés dont on a besoin sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que
southward i north O H 𝜃 = .

Si on substitue nos valeurs à

O ,

H
et

𝜃 ,
on obtient ce qui suit:
south i due north v 5 = 𝑥 1 .

Pour résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par ten pour obtenir ce qui suit:
𝑥 = 1 × 5 5 . due south i northward

En déterminant cette valeur à l’adjutant d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en

degrés,
on trouve que
𝑥 = 8 , 1 9 ( ii , ) . d . p . a r r o northward d i a u c e n t i è 1000 e p r è s

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé une longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle lorsqu’on nous a donné un angle (différent de l’angle droit) et la longueur d’un autre côté du triangle rectangle. Notez que nous avons commencé par étiqueter chaque côté du triangle rectangle comme
O
(Opposé),
A
(Side by side) et
H
(Hypoténuse), puis par rappeler le rapport trigonométrique approprié. Nous résumons ces étapes générales pour identifier une longueur manquante en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle.

Annotate trouver une longueur de côté manquante en utilisant la trigonométrie des triangles rectangles

Lorsqu’on nous donne united nations angle (différent de fifty’angle droit) et la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, nous pouvons déterminer la longueur d’un autre côté du triangle rectangle en suivant ces étapes:

  1. Identifier les côtés du triangle comme côté opposé, côté adjacent et hypoténuse selon l’angle connu.
  2. Choisir le rapport trigonométrique right qui relie le côté connu au côté inconnu.
  3. Réarranger la formule du rapport cascade isoler le côté inconnu.
  4. Substituer les valeurs du côté et de 50’angle connus.

Étudions united nations deuxième exemple où nous pouvons appliquer cette méthode pour trouver une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle.

Exemple ii: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au numérateur de la fraction

Déterminez la longueur de
𝐵 𝐶
en donnant la réponse au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs dans des triangles rectangles consiste à identifier les côtés par rapport à l’bending connu, dans ce cas

𝐵 𝐴 𝐶 .
À ce stade, il est également utile de se référer à la longueur
𝐵 𝐶
comme

𝑥 .

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Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’identifier le côté adjacent motorcar on ne connaît pas sa longueur et on ne la recherche pas. Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que
s i n O H 𝜃 = .

Si on substitue nos valeurs à

O ,

H
et

𝜃 ,
on obtient
s i n 4 7 = 𝑥 1 five .

Afin de résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par 15 pour avoir
𝑥 = 1 5 × four seven . s i due north

En déterminant cette valeur à fifty’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en

degrés,
on trouve que
𝑥 = 1 , ix 7 ( ii , ) . d . p . a r r o n d i a u c due east n t i è 1000 e p r è s

Maintenant, passons aux exemples de questions où l’inconnue est au dénominateur de la fraction. Avec les questions de ce type, nous avons une étape supplémentaire dans notre démarche, donc nos calculs doivent être effectués avec précision.

Exemple iii: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au dénominateur de la fraction

Déterminez
𝑥
au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs de triangles rectangles consiste à étiqueter les côtés par rapport à 50’angle connu, dans ce cas, l’angle de mesure

2 .

Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’étiqueter le côté adjacent car nous ne connaissons ni sa longueur ni ne cherchons à le trouver. Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et 50’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que
s i n O H 𝜃 = .

Si on substitue nos valeurs à

O ,

H
et

𝜃 ,
on obtient
south i n 2 = 1 2 𝑥 .

On multiplie les deux côtés par
𝑥
pour obtenir
𝑥 × 2 = one 2 . s i n
Ensuite, on divise chaque côté par
s i northward 2
pour obtenir
𝑥 = ane 2 2 . south i n

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en

degrés,
on trouve que
𝑥 = 3 five , ix ( ii , ) . d . p . a r r o n d i a u c e n t i è m east p r è s

Maintenant, regardons quelques questions qui sont des problèmes de la vie courante. Celles-ci contiennent fifty’étape supplémentaire consistant à dessiner un diagramme associé en prenant soin d’interpréter correctement les informations de la question.

Exemple four: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où 50’inconnue est au nominateur de la fraction

Une échelle de
23 ft
est appuyée contre un bâtiment de sorte que l’angle entre le sol et l’échelle est

8 .
À quelle hauteur l’échelle atteint-elle le côté du bâtiment?Donne ta réponse au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre ce problème consiste à tracer un diagramme, en marquant le côté opposé, le côté next et l’hypoténuse dans le processus.

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Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que
s i n O H 𝜃 = .

Si on substitue nos valeurs à

O ,

H
et

𝜃 ,
on obtient
south i n 8 = 𝑥 2 3 .

Cascade résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par 23 pour écrire
𝑥 = ii 3 × viii . s i northward

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en

degrés,
on trouve que
𝑥 = two 2 , 6 v ( 2 , ) . d . p . a r r o north d i a u c eastward n t i è chiliad eastward p r è due south

Exemple 5: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où fifty’inconnue est au nominateur de la fraction

Un cerf-volant, qui est à une hauteur de
44 yard
, est attaché à une corde inclinée de
six
à l’horizontale. Déterminez la longueur de la corde au dixième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre ce problème consiste à tracer une figure, en désignant le côté opposé, le côté side by side et l’hypoténuse dans le schéma.

Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et fifty’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que
due south i n O H 𝜃 = .

Si on substitue nos valeurs à

O ,

H
et

𝜃 ,
on obtient
southward i northward six = 4 4 𝑥 .

Pour résoudre ce problème, nous commençons par multiplier les deux côtés par
𝑥
pour obtenir
4 iv = 𝑥 × six , s i n
puis en divisant chaque côté par

s i n 6 ,
on trouve que
𝑥 = 4 4 six . south i n

En déterminant cette valeur à 50’adjutant d’une calculatrice et en vérifiant que fifty’unité d’angle est définie en

degrés,
on trouve que
𝑥 = 5 , 8 ( 1 , ) . d . p . a r r o north d i a u d i ten i è thou e p r è s

Terminons en rappelant quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Lorsqu’il s’agit de triangles rectangles, nous utilisons les termes
    côté opposé,
    côté adjacent
    et
    hypoténuse
    pour désigner les côtés du triangle.

  • Rappelez-vous l’acronyme « SOH CAH TOA », où
    O
    signifie le côté opposé,
    A
    représente le côté next,
    H
    représente fifty’hypoténuse et
    𝜃
    est l’angle. Les rapports trigonométriques sont
    s i n O H c o south A H e t t a n O A 𝜃 = , 𝜃 = , 𝜃 = .
  • Lorsqu’on nous donne un angle (différent de l’angle droit) et la longueur d’united nations côté dans un triangle rectangle, nous pouvons déterminer la longueur d’united nations autre côté du triangle rectangle en suivant ces étapes:
    • Identifier les côtés du triangle comme le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse selon l’angle connu.
    • Choisir le rapport trigonométrique qui relie le côté connu au côté inconnu.
    • Réarranger la formule du rapport pour isoler le côté inconnu.
    • Remplacer les valeurs du côté et de l’angle connus.

Cote Oppose Dans Un Triangle Rectangle

Source: https://www.nagwa.com/fr/explainers/815180828406/

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