Combien Y a T Il De Triangle

Combien Y a T Il De Triangle


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NOMBRES de TRIANGLES


dans un triangle ou dans une figure g�om�trique quelconque






Expos� de trois m�thodes permettant de compter la quantit� de triangles dans united nations dessin; de la grand�thode la plus simple � celle qui r�sout le cas thousand�due north�ral; avec exemples.






Devinette











Il s’agit de dire combien de triangles vous compter sur cette figure, sans en oublier un seul. Soyez thousand�ticuleux pour compter �



La plupart des gens disent 24. Est-ce votre avis �galement ?



Attention ! Sans une astuce �a ne serait pas dr�le.

Solution






Les trois m�thodes � Triangles dans le triangle



















Probl�me

Combien de triangles dans cette figure ?


Notez



cascade la suite que les c�t�s du triangle isoc�le sont d�coup�due south en deux segments














M�thode ane � Comptage


En comptant simplement, on en d�nombre (en jaune):
one + 2 + 2 + 1 + 2 = 8 triangles


Notez que:


viii = ii3.


Astuce de comptage


: si united nations triangle de taille thou contient chiliad surfaces individuelles, alors il y a:





*






yard = 1 => iii triangles








*






grand = 2 => 4 triangles








*






k = 4 => 1 triangle; total 8.























M�thode 2 � D�nombrement par grille

Avec une m�thode syst�matique, incommunicable d’en oublier.




*






En jaune
avec deux ronds: tous les segments possibles;




*






En rouge, united nations rond chaque fois que le sommet forme un triangle avec le segment de la ligne.

Ex: 12three, 124, 125, � thirteeniv
� 156





Les num�ros sont ceux des
sommets ou des intersections.
















M�thode 3 � Sommets thousand�due north�rateurs


Adapt�e aux figures sym�triques, mais atention aux doublons.










Quantit� de triangles:


2 ten (three 10 3) + (3 x
3) = 27 = 33







Bending en F


Bending AFF’:






FEF’, FDF’, FAF’






Angle AFE’:






FEC, FDG’, FAE’






Bending D’FF’:






FGF’, FBF’, FD’F’






Angle AFD’:






FEG, FDB, FAD’


Angle D’FE’:






FGC, FBG’, FD’E’


Angle E’FF’:






FCF’, FG’F’, FE’F’


Il y a 18 triangles issus de F et autant issus de F’ �


� l’exception des triangles qui sont vus � la fois par F et par F’ (en rouge: ils ont FF’ comme c�t� commun).


M�thode three en action


Sur la figure, on identifie les 10 sortes d’angles (arcs en vert):














Chaque bending engendre quatre triangles, d’o� le nombre quatre indiqu�. En doublant pour tenir compte de l’angle sym�trique, on aurait: 2 x (ten 10 4)
= fourscore triangles



Or, lorsque un c�t� de l’angle est la base (identifi� par united nations point rouge), alors les triangles ne doivent �tre compt�southward qu’une seule fois.











Quantit� de triangles:


2 ten (half-dozen ten iv) + four ten
4
= 64 = 43



Cascade ceux qui voudrait d�nombrer visuellement


, avec yard la quantit� q de surfaces dans chaque triangle, on a
(q, k) =



(7, one)



(14, two) (10, 3) (13, 4) (half dozen, 6) (vi, 8) (3, ix) (4, 12) et (i, 16).


Notez qu’avec



les deux segments
obliques du bas, on compte 3 + 1 + 3 = 7 triangles avec chiliad = 1



=> (k, q) =
(seven, 1).



G�n�ralisation


Avec ces deux exemples, on constate que la quantit� (Q) de triangles est �gale au cube du nombre de segments (due north) d�coup�s sur un c�t� .



Propri�t� vraie quel que soit due north.


Qiv
= 2 x
vi
x 4 + four ten four


La
6
r�sulte de: 1 pour les angles de 3 intervalles, 2 pour 2 intervalles, 3 cascade 1 intervalle, soit three + 2 + one. C’est la somme des entiers de 1 � iii.

































Bilan


Cas unproblematic => thou�thode 1 par comptage.


Cas d’une effigy sym�trique => one thousand�thode 3 par sommets 1000�n�rateurs de triangles.


Cas g�n�ral => m�thode two => par utilisation d’une grille de connexions.


Exemple complexe avec utilisation de la grille de connection, ci-dessous.













Compter les triangles dans la figure propos�e





















*





Voici un dessin du blazon de ceux qui figurent dans des concours. Il southward’agit de compter la quantit� de triangles dessin�s dans la figure. Comme (one, ix, 10), tout en excluant ceux que l’on pourrait dessiner (ane, 2, 10).




*





Sauf pour les cracs, il est incommunicable de comptez de t�te sans oublier un ou deux triangles, ou en compter en double.





*





Voyons une thou�thode syst�matique qui permet de les d�nombrer � coup s�r.��














Yard�thode syst�matique





















*





La m�thode consiste �




*





examiner chaque signal num�rot� dans l’ordre croissant de 1 � 14;




*





faire la liste de tous les points d’ordre sup�rieur au num�ro courant qui lui sont r�unis par un trait




*





ignorer les points de num�ro inf�rieur au num�ro courant, auto le triangle (1, 3, 8) est identique � (3, 1, eight) ou (viii, ane, 3);




*





composer toutes les combinaisons de trois des points de cette liste;




*





d�tecter quelles sont les combinaisons d�crivant un triangle;
et




*





compter ces combinaisons.




*





L’aide d’un tableur comme ardoise est appr�ciable.










Exemple

:




*





Indicate 1, connect� � 2, 3, 10, 14, ix, viii.




*





Triplets: (i 2 3, 1 2 10, 1 2 14, �)




*





Triplets triangles (1 3 xiv, 1 3 8, i 10 9, one 14 9 et one xiv viii).




*





Point 2, connect� � iii, 11, 12, 5. J’ignore le ane d�j� trait� et je n’oublie pas les points marshal�s.




*





Le tableur facile fifty’�criture.




*





Le d�compte demande beaucoup de soin.









TOTAL : 23 triangles


Voir


M�thode am�lior�e appliqu�east aux polygones



V�rification





























*





Si fifty’enjeu est important, due north’h�sitez pas � refaire le d�compte en prenant les num�ros de points � l’envers.







*





Une fois l’exercice termin�, v�rifiez que les triangles identifi�s ici sont bien ceux de l�-haut. Pour cela, je marque en rouge les configurations identiques.




*





Cette v�rification est surtout utile si vous ne trouvez pas la yard�me quantit� de triangles dans les deux cas.










Devinette � Solution








La plupart des gens disent 24. Est-ce votre avis �galement?

Avez-vous compt� le triangle qui se niche dans le A du mot “triangles” ?


La r�ponse est alors 25.


On d�nombre sur l’�tage sup�rieur:




*






3 triangles unit�;









*






2 triangles avec deux surfaces; et








*






one triangel avec trois surfaces






Avec quatre �tages: four x 6 = 24.





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Combien Y a T Il De Triangle

Source: http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/TrgCompt.htm

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