Deux Fourmis Se Deplacent a La Meme Vitesse

Deux Fourmis Se Deplacent a La Meme Vitesse

Niveau 2 *

Enigmo 56 : La class de fourmis


Post� par

jamo
Moderateur






28-08-08 à 19:57

Bonjour,

Une derni�re petite �nigme pource mois d’aout …

Deux fourmis ont d�cid� de faire une course ; mais c’est bien connu, les fourmis sont sympathiques, donc elles ont d�cid� de finir ex-aequo.

On dispose d’united nations tronc de c�ne de r�volution dont les rayons de bases sont dans un rapport de 2.

Les deux fourmis partent d’un k�me bespeak situ� sur le cercle de base le plus chiliad.

La i�re fourmi fait simplement united nations bout de ce cercle (trajet rouge).

La 2�me fourmi monte sur le petit cercle le long d’une g�n�ratrice ; elle fait ensuite un bout de ce petit cercle, puis redescend le long de la m�me g�north�ratrice (trajet bleu).

On suppose que les deux fourmis se d�placent � la m�me vitesse qui reste constante.


Question
: calculer la valeur de l’angle au sommet du c�ne cascade que les deux trajets aient exactement la thousand�me longueur.


Je veux le r�sultat avec une pr�cision au centi�me de degr� par rapport � la valeur exacte.

Si vous pensez que le probl�me est impossible, vous r�pondrez “probl�me impossible”, en me pr�cisant cascade quelle raison.

Bons calculs !

Enigmo 56 : La course de fourmis

Post� par
Nofutur2

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






28-08-08 à xx:eleven


gagn�
Sauf erreur , je trouve un bending au sommet du c�ne de
37,12 �
(au centi�me de degr� pr�s).

Post� par
Flo08

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






28-08-08 à twenty:56


gagn�
Bonsoir

Enigmo 56 : La course de fourmis

On pose R le rayon du petit cercle de base. Le rayon du grand cercle de base est 2R.

On pose a la longueur de la portion de chiliad�north�ratrice et

le demi-bending au sommet du c�ne.  sin
= R/a

  a = R/sin.

La distance parcourue par la premi�re fourmi (en rouge) est �gale � 4R.

La distance parcourue par la seconde fourmi (en bleu) est 2R + 2a = 2R + 2R/sin

il faut donc r�soudre l’�quation suivante :

3$ 2\pi \rm{R} + 2\fr{\rm{R}}{\sin \alpha} = 4\pi \rm{R}

3$ \pi + \fr{1}{\sin \alpha} = 2\pi

3$ \fr{1}{\sin \alpha} = \pi

3$ \sin \alpha = \fr{1}{\pi}

3$ \alpha = \rm{Arcsin}\fr{1}{\pi}

L’angle au sommet du c�ne est donc5$ \blue \fbox{2\alpha = 2\rm{Arcsin}\fr{1}{\pi} \approx 37,12^{\circ}}

Postal service� par
manpower

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






28-08-08 à 21:14


gagn�
Bonsoir,

sachant que les points sont diam�tralement oppos�s (tour complet),

ils forment avec le sommet du c�ne un triangle contenu dans un plan passant par le middle des bases du tronc de c�ne.

De 50’argument d’�galit� des fourmis, on tire que l’apoth�me vaut
\pi\times r, ensuite dans united nations demi-triangle (rectangle), on a le demi-angle a=Arcsin(\frac{1}{\pi})

Ainsi l’angle marqu� vaut a=2Arcsin(\frac{1}{\pi})\approx
37,12�.

PS: L’bending du patron du c�ne vaut lui
\frac{360}{\pi}�.

Merci pour l’Enigmo.

Post� par
plumemeteore

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






28-08-08 à 21:17


gagn�
bonjour

l’bending au sommet du c�ne est 37,12 degr�due south au centi�me de degr� pr�s.

si one est le rayon de la petite base

la moiti� du trajet rouge est 2pi

la moiti� du trajet bleu est pi + 1/(sinus de la moiti� de fifty’angle)

la moiti� de 50’angle a cascade sinus ane/pi et vaut 18,560745 degr�south

Post� par
Matouille2b

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






28-08-08 à 21:23


gagn�
Bonjour

Modulo le th�or�me de Thales et un peu de trigo je trouve en notant
\alpha
l’angle au sommet :

\alpha = 180 - 2 \text{arccos}(\frac{1}{\pi}) = 37,12� �
10^{-2}
pr�s

Merci pour fifty’enigme …

Post� par
Nyavlys

re : Enigmo 56 : La form de fourmis






28-08-08 à 22:14


gagn�
Bonjour,

Soit

le demi angle au somment, a le c�t� (pente) du c�ne complet, et r le rayon de la base du c�ne.

r = a sin

La premi�re fourmi parcourt 2

r = two

a sin


La seconde ….             a +

a sin

En simplifiant on arrive �

sin

= 1

soit

= Asin(ane/)

18.56

d’o�
= 2

=


37.12 degr�s

Merci pour l’�nigme

Post� par
akub-bkub

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






28-08-08 à 22:36


gagn�
Bonjour � tous,

La r�ponse que je suggest est : 37,12�.

D�marche :

Trajet rouge = trajet bleu

2\pi.sin{\frac{?}{2}}=\pi.sin{\frac{?}{2}}+1



?=2sin^{-1}
\frac{1}{\pi}

Merci. Bien � vous.

Enigmo 56 : La course de fourmis

Post� par
veleda

re : Enigmo 56 : La grade de fourmis






28-08-08 à 23:xv

Post� par
Daniel62

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






28-08-08 à 23:53


gagn�
Bonjour � tous,

ma r�ponse:\rm \fbox{ 37,12 degres}

avec l’accent �a donne 37,12 degr�s

soit r le rayon du petit cercle,

son p�rim�tre est 2r celui du grand cercle est le double

la diff�rence entre les deux p�rim�tres est le petit p�rim�tre

la thousand�north�ratrice est parcourue two fois, sa longueur doit �tre la moiti� du petit p�rim�tre donc
r

on d�termine le demi-bending au sommet � partir de son sinus,

en remarquant que le c�ne est coup� � la moiti� de sa hauteur:
\rm angle = 2\times \arcsin (\frac{1}{\pi})

pas si sympathiques que �a les fourmis, surtout les rouges !

Post� par
Eric1

re : Enigmo 56 : La form de fourmis






28-08-08 à 23:57


perdu
je trouve 9,13� environ

Post� par
jugo

re : Enigmo 56 : La form de fourmis






29-08-08 à 00:51


perdu
Bonjour,

Si a est fifty’bending du c�ne, r est le rayon “d’en haut” et ten la longueur de la mont�east, il faut :

x + 2Πr = 4Πr

soit x = 2Πr

et comme sin(a/2) = r/10 = 1/2Π, on tombe sur
a = ii.Arcsin(1/2Π)

Ce qui donne un bending de


18.32�

.

Post� par
jugo

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






29-08-08 à 00:56


perdu

tiens c’est bizarre, j’ai un smiley qui appara�t � la place de la parenth�se …

j’ai pourtant rien mis avant ???

c’est pas plus mal comme �a remarque …

Post� par
PloufPlouf06

re : Enigmo 56 : La grade de fourmis






29-08-08 à 02:31


perdu
Bonsoir,

La distance parcourue par la fourmi rouge en fonction de 50’angle
\alpha
et de la demi m�n�ratrice d est :
\blue\fbox{x_R=2\pi\times d\times sin(\alpha)}.

La distance parcourue par la fourmi bleue en fonction de fifty’angle
\alpha
et de la demi thou�n�ratrice d est :
\blue\fbox{x_B=2d+\pi\times d\times sin(\alpha)}.

Comme les vitesses des deux fourmis sont �gales et constantes, et qu’elles arrivent en g�me temps, on a :

x_B=x_R \Leftrightarrow 2\pi\times d\times sin(\alpha)=2d+\pi\times d\times sin(\alpha).

D’o� :4$\red\fbox{\alpha=Arcsin(\frac2{\pi})}.

Comme le r�sultat est demand� au
centi�me
et endegr�s, cela donne :
4$\red\fbox{\alpha\approx 39.54^{_o}}

Sauf erreur

Merci cascade 50’�nigme

Mail� par
rogerd

La course de fourmis



29-08-08 à 09:14


gagn�
Merci Jamo pour cette derni�re �nigme estivale.

Je trouve que le demi-angle au sommet
\alpha
du c�ne v�rifie
sin\alpha=1/\pi. J’en d�duis
\alpha.

Fifty’angle au sommet
2\alpha
est donc �gal � 37,12 degr�s

Postal service� par
kioups

re : Enigmo 56 : La class de fourmis






29-08-08 à 10:17


gagn�
Je trouve united nations angle d’environ 37,12�.

Post� par
marcv76

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






29-08-08 à x:45


gagn�
Bonjour jamo et f�licitations cascade tes �nigmes!!

Fifty’bending “a” recherch� est tel que :

sin(a/two)=(1/pi)

50’angle est donc :

a=37,12�

Postal service� par
davidh

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






29-08-08 à xi:09


perdu
Bonjour,

Si le cercle de base a un rayon R, le cercle du sommet du tronc de c�ne a un rayon R/two.

La fourmi rouge fait un trajet de longueur �gale � 2R et la bleue doit donc en faire de m�me.

Popular:   Conjugaison De Deux Verbes Qui Se Suivent

Le cercle parcourue par la bleue fait
R et la portion de circuit rectiligne qu’elle parcourt deux fois doit donc faire
R/two.

Coupons le tronc de c�ne par un plan m�dian. On a un trap�ze dont la base fait 2R, le sommet R et les segments sur les cot�s
R/two.

Donc, le sinus de 50’angle need� est 1/.

Cet angle fait xviii,56 degr�southward.

Merci cascade l’�nigme.

Post� par
lo5707

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






29-08-08 à 12:xiii

Postal service� par
infophile

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






29-08-08 à 15:37


gagn�
Bonjour

Je note
L
une g�n�ratrice,
R
le rayon de la grande base et
\alpha
fifty’angle recherch�.

Dans le triangle rectangle class� par cette yard�due north�ratrice, la hauteur et le rayon de la grande base on a
\sin\(\frac{\alpha}{2}\)=\frac{R}{L}\Leftright L=\frac{R}{\sin\(\frac{\alpha}{2}\)}

Le p�rim�tre du cercle de la grande base est
2\pi R
et celui de la petite
\pi R
car les rayons sont en rapport de moiti�.

On a donc fifty’�galit�
2\pi R=\pi R+L\Leftright 2\pi R=\pi R+\frac{R}{\sin\(\frac{\alpha}{2}\)}

D’o� en simplifiant par
R
:
\sin\(\frac{\alpha}{2}\)=\frac{1}{\pi}
soit
\fbox{\alpha=2\arcsin\(\frac{1}{\pi}\)}

Avec la pr�cision demand�e je trouve
37,12�.

Sans v�rification, merci pour 50’�nigme

Mail service� par
Judeau

Bonjour,



29-08-08 à xviii:24


gagn�
La valeur de l’angle au sommet du c�ne pour que les deux trajets soient de m�me longueur est
37,12
degr�s.

Merci pour l’�nigme

Mail service� par
totti1000

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






29-08-08 à 19:06


gagn�
Appelons R1 le petit rayon et R2 le yard rayon

Nous avons d’april�south 50’�nonc� : R2=2*R1

On appelle ‘‘ l’bending au sommet de la pyramide et h le ‘cot�’ du solide.

En d�composant le trajet des 2 fourmis on obtient:

2R2=iiR1+2h

soit h=(R2-R1)=R1

Avec le th�or�me de Thales et un peu de trigo, on �tabli:

h=R1/sin(/2)

d’o� l’�galit� :
R1=R1/sin(/ii)

et donc
=2Arcsin(1/)

soit
=37.12�

Post� par
matovitch

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






29-08-08 à 21:41


perdu
Bonjour � tous !

Sauf erreur de calcul je trouve un angle tel que :

sin (\fr{\alpha} {2}) = \fr{4}{3\pi}

\rm \blue et donc \fbox{\alpha \approx 50,23 degres}

Post� par
kiko21

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






30-08-08 à 14:37


gagn�
Bonjour,

L’angle program est �gal �
5$ \magenta \fbox{37,12^{\circ}}
arrondi au centi�me de degr�.

La valeur exacte est
2.sin^{-1}(\frac{1}{\pi})
 \\

Merci et A+, KiKo21.

Postal service� par
jver

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






31-08-08 à 10:55


perdu
gentilles, les fourmis??? Quelle vision de la gentillesse!

eighteen,56 degr�s (= arcsin(one/pi))

Post� par
eltrai

re : Enigmo 56 : La class de fourmis






31-08-08 à thirteen:17


perdu
Pour que les deux trajets aient la m�me longueur, il faut que l’bending au sommet du c�ne ait pour valeur 79,08�

Merci pour fifty’�nigme

Mail service� par
gilles89

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






31-08-08 à 14:12


gagn�
Apr�s une r�solution th�orique, on trouve pour l’bending au sommet:

=2arcsin(1/)

soit num�riquement:

=37,12�

Postal service� par
isisstruiss

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






31-08-08 à xx:06


perdu
Bonjour,

Je me demande pourquoi on donne une indication quant au rapport des rayons, le r�sultat est le m�me sans cette information.

Soir
R
le 1000 rayon,
r
le petit rayon,
\alpha
l’angle recherch�.

Longueur du chemin rouge:

L=2\pi R

Longueur du chemin bleu:

l=2\pi r+2(\frac{R}{2\sin(\alpha/2)}-\frac{r}{2\sin(\alpha/2)})

Comme
L=l
on a
2\pi R=2\pi r+\frac{R-r}{\sin(\alpha/2)}

d’o�
sin(\alpha/2)=\frac{1}{2\pi}

\alpha=18.316
degr�s


Isis

Mail� par
gloubi

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






01-09-08 à xi:36


gagn�
Bonjour,

Fifty’bending au sommet vaut
3$\2Arcsin(\frac{1}{\pi})
soit environ
37,12�

Merci cascade l’�nigme

Mail� par
LEGMATH

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






02-09-08 à 09:41


gagn�
Bonjour jamo,

L’ angle au sommet du c�ne est de 37,12�.

Mail service� par
Tolokoban

37.12 degr�s



02-09-08 à 10:06


gagn�
Soit r le petit rayon et 2r le grand.

Le trajet aller-retour le long d’une g�n�ratrice est donc de :

4\pi r - 2\pi r = 2\pi r

Le sinus �tant le c�t� oppos� sur l’hypot�nuse, on obtient :

\sin (\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{\pi}

D’o�
\alpha \approx 37.12
degr�southward

Post� par
piepalm

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






02-09-08 à 22:00


perdu
si a est le demi angle du c�ne et r le rayon du petit cercle, donc 2r celui du g, le trajet sur la g�due north�ratrice a pour longueur r/sina donc r/sina+2pi*r=4pi*r et sina=1/2pi soit united nations demi-bending au sommet de nine,158� donc un angle au sommet de 18,32�

Post� par
Kacs

re : Enigmo 56 : La grade de fourmis






06-09-08 à 15:58


gagn�
Si on note
\alpha
l’angle au sommet du c�ne, alors la valeur exacte cascade que les fourmis arrivent ex-aequo est
\alpha = 2 \arcsin\left(\frac1\pi\right).

En valeur approch�e, cela donne
\alpha \approx 37,12
degr�s.

Post� par
mitchXIV

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






07-09-08 à eleven:27


perdu
bonjour,

l’angle du sommet du c�ne est 18,56�

A+

Post� par
PIL

re : Enigmo 56 : La course de fourmis






08-09-08 à 15:35

Post� par
yoyodada

re : Enigmo 56 : La class de fourmis






10-09-08 à xx:47


perdu
je dirais arcsin(1/pi) = xviii,56 degr�s.

Postal service� par
yoyodada

re : Enigmo 56 : La form de fourmis




xi-09-08 à 16:36


perdu
zut, j’ai donn� la valeur de fifty’bending de demi-ouverture, et not 50’bending au sommet… Ca donne donc une valeur de 37.12 degr�s, et non 18.56…

Post� par
geo3

re : Enigmo 56 : La course de fourmis




14-09-08 à 21:19

Postal service� par
1emeu

re : Enigmo 56 : La course de fourmis




15-09-08 à 22:35


perdu
Bonsoir,

Voici ma r�ponse :

il s’agit de r�soudre le syst�me suivant

4.Pi=fifty+ii.Pi

sin(theta/2)=2/l

Je trouve un angle de 36.48 degr�southward

Merci cascade fifty’�nigme

1emeu

Post� par
jamo
Moderateur


re : Enigmo 56 : La course de fourmis




sixteen-09-08 à 17:04



Cl�ture de l’�nigme

Une m�me erreur a �t� faite plusieurs fois : certains ont oubli� de multiplier par ii leur r�sultat pour avoir l’angle au sommet du c�ne !!

Fin du suspens cascade le mois d’aout : c’est donc
Flo08
qui remporte haut la main ce mois, avec non seulement united nations sans-faute, mais aussi avec un temps moyen plut�t faible. Bravo !

Post� par
Arnaud0674

re : Enigmo 56 : La form de fourmis




16-09-08 à 17:05


perdu
Lol je savais que j’avais faux (j ai repondu trop vite) ^^ Je m’en souviendrais pour la prochaine

Encore merci jamo cascade cette �nigme

Post� par
Flo08

re : Enigmo 56 : La course de fourmis




16-09-08 à 17:15

Mail service� par
lo5707

re : Enigmo 56 : La course de fourmis




16-09-08 à 17:36


perdu
bonjour,

est-ce que quelqu’un pourrait expliquer o� est ma faute? tout comme celle de isiss et piepalm par exemple

merci

Post� par
jamo
Moderateur


re : Enigmo 56 : La course de fourmis




16-09-08 à 17:53

lo5707 >> tu �cris que la longueur du trajet bleu est de 2*PI*r+l, or c’est 2*PI*r+2*fifty !

Mail� par
Daniel62

re : Enigmo 56 : La course de fourmis




16-09-08 à 18:24


gagn�
toutes mes f�licitations Flo

Post� par
Flo08

re : Enigmo 56 : La form de fourmis




16-09-08 à 18:35


gagn�
Merci
Daniel

Deux Fourmis Se Deplacent a La Meme Vitesse

Source: https://www.ilemaths.net/sujet-enigmo-56-la-course-de-fourmis-221422.html

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