Centre Du Cercle Circonscrit À Un Triangle

Centre Du Cercle Circonscrit À Un Triangle

Cours maths 4ème

Triangle rectangle et cercle circonscrit

Ce cours tente d’étudier les propriétés du cercle circonscrit d’un triangle rectangle et de sa médiane relative à l’hypoténuse, ainsi que les réciproques de ces propriétés. Pour aborder ce chapitre, l’élève devra mobiliser toutes ses connaissances sur la médiatrice d’un segment et les propriétés s’y rattachant.

United nations peu de vocabulaire sur le triangle rectangle

Soit united nations triangle ABC rectangle en B:

Rappel:

L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :


BA AC

BC Air conditioning

Soit un triangle DEF :

Traçons les trois médiatrices des trois côtés de ce triangle.

On obtient un signal, notons-le O, qui est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle DEF.

Définition

Le


cercle circonscrit


d’un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

Propriétés

Les trois médiatrices d’un triangle sont


concourantes


en united nations point qui est le eye du cercle circonscrit à ce triangle.

Réfléchissons…



Soit

PON un triangle rectangle en O

tel que

I est le milieu de son hypoténuse [PN]
.
Si T est le symétrique de O par rapport à I alors I est le milieu du segment [TO].
On en déduit que

PONT est un parallélo-gramme

car ses diagonales se coupent en leur milieu I.
Or, si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle. Donc

PONT est un rectangle.


Les diagonales [OT] et [PN] sont de même longueur et

IO = IN = It = IP.

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Que peut-on dire du cercle de middle I et de rayon [IP] ?

On peut dire que le cercle de centre I et de rayon [IP] passe par les points P, O, N et T.


C’est le cercle circonscrit au triangle PON rectangle en O.

Caractérisation du triangle rectangle

Théorème:


Si un triangle est rectangle alors le heart de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse et la médiane relative à fifty’hypoténuse a pour mesure la moitié de celle de l’hypoténuse.

Exemple:




Hypothèses:

KAO est un triangle rectangle en Chiliad ; J est le milieu de [AO].

Conclusions:


Le cercle circonscrit au triangle KAO a pour diamètre [OA] et JK = OA ÷ ii.


Réfléchissons…



Soit le

cercle de diamètre

[
RZ
] et

A le milieu de [RZ]

.
Soit

I

un point appartenant à ce cercle différent des points R et Z.

Si O est le symétrique de I par rapport à A alors A est le milieu du segment

[OI], AO = AI>
. Comme [AI], [AR] et [AZ] sont des rayons du cercle,

AI = AR = AZ.



Que peut-on dire du quadrilatère ROZI ?

On peut dire que le quadrilatère ROZI a des diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur.



ROZI est donc united nations rectangle



Que peut-on dire du triangle RIZ ?



Le triangle RIZ est united nations triangle rectangle en I.

La réciproque
Théorème :

Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et united nations point de ce cercle alors ce triangle est rectangle.

Exemple:




Hypothèses:

Dans le triangle ABC, Thou est le milieu de [AB] et MC = AB ÷ ii.
Conclusions:


Le triangle ABC est rectangle en C.


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Centre Du Cercle Circonscrit À Un Triangle

Source: https://www.educastream.com/fr/triangle-rectangle-cercle-circonscrit-4eme

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