Combien De Sommet a Un Cube

Combien De Sommet a Un Cube

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Cube
Image illustrative de l’article Cube

Type Solide platonicien
Faces 6 carrés
Arêtes 12
Sommets 8
Faces/sommet iii
Caractéristique 2

Symbole de Schläfli {4,three}
Symbole de Wythoff 3
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.png
CDel 4.png
CDel node.png
CDel 3.png
CDel node.png
Dual Octaèdre régulier
Groupe de symétrie Oh
Book
Aire 6a²
Angle dièdre 90°
Propriétés zonoèdre convexe

En géométrie euclidienne, un
cube
est united nations prisme droit dont toutes les faces sont carrées donc égales et superposables. Le cube figure parmi les solides les plus remarquables de l’espace. C’est le seul des cinq solides de Platon, ayant exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est « hexaèdre régulier ». Le cube est un zonoèdre à trois générateurs.

Comme il a quatre sommets par confront et trois faces par sommet, son symbole de Schläfli est {four,iii}.

Fifty’étymologie du mot
cube
est grecque ;
cube
provient de
kubos, le dé.

Le terme de cube, appliqué à un nombre, désigne la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre initial. Cette expression south’est imposée durant la période où l’algèbre géométrique était omniprésente, le carré d’un nombre était vu comme la surface d’un carré de côté le nombre initial et le cube d’united nations nombre comme le book d’united nations cube de côté le nombre initial. 50’expression «a
3 » peut se lire « a au cube » et « a cube ».

Le 1-squelette du cube — l’ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un graphe appelé graphe hexaédrique.


Géométrie

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Cube svg int.svg

Le cube est united nations des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. Pour sommets, on peut prendre par exemple les points de






R


3




{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}




de coordonnées




(
±


i
,
±


ane
,
±


1
)


{\displaystyle (\pm 1,\pm ane,\pm 1)}



. De plus :

  • Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales.
  • Les faces opposées sont parallèles. Les faces adjacentes sont perpendiculaires
  • Tous les angles dièdres sont droits.
  • Les diagonales s’intersectent en united nations unique point, le centre de symétrie du cube, 50’isobarycentre des huit sommets.

Mais par définition ses arêtes sont toutes de longueur égale, disons
a. Ses faces sont donc des carrés d’aire
a
two.

C’est l’expression de son volume qui a conduit à l’utilisation du mot
cube
en algèbre.


Autres définitions

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Il existe d’autres définitions équivalentes du cube :

  • les cubes sont les seuls polyèdres dont toutes les faces sont carrées ;
  • le cube est united nations antidiamant d’ordre 3 à sommets réguliers et angles dièdres égaux.


Groupe des isométries

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Le groupe des isométries du cube, noté Oh, et le sous-groupe de ses isométries positives (ses rotations), noté O, sont aussi appelés groupes de
symétrie octaédrique, parce que ce sont les mêmes que ceux de son polyèdre dual, l’octaèdre régulier.

Le cube est l’united nations des polyèdres offrant le plus de symétries :

  • three axes de rotation d’ordre four : axes passant par le centre de deux faces opposées ;
  • vi axes de rotations d’ordre 2 : axes passant par le milieu de deux arêtes opposées ;
  • 4 axes de rotation d’ordre iii : axes passant par deux sommets opposés ;
  • la symétrie centrale par rapport au centre du cube ;
  • 9 plans de symétrie : 3 plans médiateurs des arêtes, 6 plans passant par deux arêtes opposées.
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Une isométrie du cube fixe son centre. Elle est donc entièrement définie par l’paradigm d’united nations sommet A et de deux (B et C) de ses trois voisins (puisque ces trois points forment, avec le middle, un repère de l’espace). Le sommet A peut avoir cascade image fifty’united nations quelconque, A’, des 8 sommets du cube. Pour le sommet B, il y a alors 3 images possibles, parmi les trois voisins de A’ puis, pour fifty’image de C, two images parmi les deux voisins restants. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre de 8 × 3 × ii = 48, dont 24 rotations, une seule des deux images de C donnant la même orientation de A’B’C’ par rapport à ABC. Les 24 rotations sont :

  • l’application identité, qui est une rotation (d’angle nul et d’axe quelconque) ;
  • 3 demi-tours d’axe passant par le centre de deux faces opposées (iii axes possibles) ;
  • 6 quart de tours d’axe passant par le middle de deux faces opposées (3 axes possibles et 2 angles possibles) ;
  • 6 demi-tours d’axe passant par les milieux de deux arêtes opposées (6 axes possibles) ;
  • eight tiers de tours d’axe passant par deux sommets opposés (4 axes possibles et 2 angles possibles).

Le groupe O de ces 24 rotations est isomorphe au groupe symétrique Southfour. Une rotation quelconque permute en effet les quatre diagonales du cube, et inversement, une permutation quelconque des quatre diagonales définit une unique rotation.

Les isométries négatives du cube sont les antirotations composées de ces rotations par la symétrie centrale et commutent avec elle. Le groupe Oh
est donc le produit direct interne du sous-groupe O par le sous-groupe cyclique d’ordre 2 engendré par la symétrie centrale. C’est le plus gros des 7 groupes orthogonaux de réseaux de dimension 3.

Les 24 isométries négatives sont respectivement :

  • la symétrie centrale
  • 3 symétries par rapport à un plan passant par le centre du cube et parallèle à une face (3 plans possibles) ;
  • 6 composées des symétries précédentes avec united nations quart de bout d’axe perpendiculaire au plan de symétrie (3 plans possibles et 2 angles possibles) ;
  • 6 symétries par rapport à un plan passant par deux arêtes opposées (6 plans possibles) ;
  • 8 composées d’united nations sixième de bout d’axe passant par deux sommets opposés avec la symétrie par rapport au plan passant par le centre du cube et perpendiculaire à cet axe (4 axes possibles et two angles possibles). Le plan de symétrie intersecte les arêtes du cube en formant un hexagone régulier.

Deux tétraèdres inscrits dans le cube, symétriques l’un de l’autre par la symétrie centrale

Enfin, les huit sommets du cube peuvent se répartir en deux tétraèdres réguliers, symétriques l’un de l’autre par la symétrie centrale. Il en résulte que, sur les 48 isométries du cube, 24 laissent chacun de ces tétraèdres invariant, et 24 échangent les deux tétraèdres. Les 24 isométries du cube laissant les tétraèdres invariants forment le groupe des isométries du tétraèdre : 12 sont des rotations, et 12 des isométries indirectes. Ces 24 isométries permutent les quatre sommets du tétraèdre.

Patrons

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Il existe onze patrons du cube ; en voici quatre :

Sections

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Un plan et un cube peuvent se rencontrer ou non. S’ils se rencontrent, leur intersection peut dessiner
[1]

  • united nations indicate
  • un segment
  • united nations triangle
  • un quadrilatère, au moins trapèze, parfois un rectangle ou même un losange
    [2]
    .
  • un pentagone. Ce pentagone possède toujours deux paires de côtés parallèles
  • un hexagone possédant trois paires de côtés parallèles
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Le cube n’ayant que six faces, il n’est pas possible d’obtenir de department ayant plus de half dozen côtés.

Fifty’intersection d’un plan et d’united nations cube peut donner trois types de polygones réguliers:

  • le triangle équilatéral, pour les plans perpendiculaires à une diagonale et dont la distance à une extrémité de la diagonale est inférieure au tiers de la longueur de celle-ci. Grâce à la section du cube ABCDEFGH par le plan DBE (voir analogy ci-dessous) qui est united nations triangle équilatéral DBE de centre Ω, on obtient que la diagonale [AG] du cube est divisée en deux parties [GΩ] et [ΩA] dans le ratio ii:1. On obtient en outre que le cube est composé de trois solides de même hauteur: deux pyramides ADBE et GCHF, et le solide CHFDEB;
  • le carré, pour les plans parallèles à une des faces. Mais on peut aussi obtenir un carré en coupant le cube par un programme parallèle à un program diagonal et à une distance




    a





    2





    1

    2




    {\displaystyle a{\frac {{\sqrt {two}}-1}{2}}}




    de celui-ci;

  • l’hexagone régulier, en coupant le cube par le plan médiateur d’une de ses diagonales.

Il north’est pas possible d’obtenir united nations pentagone régulier
[i]

car, la section ayant 5 côtés, le plan coupe nécessairement deux faces opposées du cube, la figure possède donc deux côtés parallèles, ce qui northward’make it pas dans le pentagone régulier. Il n’est pas possible d’obtenir une section sous forme de triangle rectangle
[ane]

car tous les angles du triangle obtenu par section sont aigus. Il n’est pas possible d’obtenir de section qui soit un trapèze rectangle sans être un rectangle.

L’aire maximale d’une section du cube de côté

a

est
[3]






a

2




2




{\displaystyle a^{two}{\sqrt {2}}}



. Cette aire est obtenue par la department suivant un plan contenant deux arêtes opposées du cube.


Le cube et les autres polyèdres

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Le dual du cube est l’octaèdre régulier. Ce qui explique que les deux solides possèdent le même groupe d’isométries.

Le cube due south’inscrit dans un dodécaèdre régulier : les sommets du cube sont des sommets du dodécaèdre et les arêtes du cube sont formées de segments joignant deux sommets not consécutifs dans une face pentagonale du dodécaèdre. Il y a ainsi cinq façons d’inscrire united nations cube dans un dodécaèdre régulier.

On peut aussi inscrire le cube dans un dodécaèdre rhombique. Les sommets du cube correspondent aux sommets d’ordre 3 du dodécaèdre rhombique et les arêtes du cube contributor aux diagonales des losanges.

Fascination du cube

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Le cube a joué united nations rôle of import dans la géométrie et la cosmologie grecque. Platon le classe comme le quatrième solide, le premier construit à 50’aide de triangles isocèles rectangles :

«  Groupés par quatre avec leurs angles droits se rencontrant au centre, ces triangles isocèles forment united nations quadrangle. Six de ces quadrangles en s’accollant ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits et la figure obtenue est united nations cube (Timée, 54c – 55 d) »

Comme chaque solide de Platon, le cube est associé à un élément. Comme élément le plus stable, il est associé à la Terre.

Dans une autre clé symbolique, il symbolise le monde matériel et fifty’ensemble des quatre éléments. Symbole de stabilité, il se trouve souvent à la base of operations des trônes
[4]
.

Le cube a été l’objet d’un problème qui s’est révélé insoluble : la duplication du cube à la règle et au compas.

Dans la cosmologie de Kepler, le cube est associé à la planète Saturne.

On retrouve aussi le cube dans la symbolique franc-maçonne. Le cube y symbolise les progrès que doit faire le compagnon pour passer de la pierre animal au solide parfait.

Cube
fait partie d’une séquence de trois films canadiens. Apple a produit l’ordinateur Cube, Nintendo la console GameCube. Le Rubik’s Cube est un casse-tête dont la réflexion se base sur des associations de couleur. Comprendre sa solution fait appel à un groupe de permutations.

On retrouve un cube tronqué dans le tableau
Melencolia
d’Albrecht Dürer. 50’Atomium de Bruxelles est un cube. En effet, le cube est united nations des réseaux possibles en cristallographie cascade 50’argent, l’or, le cuivre, le platine, le diamant, le sel, entre autres.


Notes et références

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  1. a b et c



    Gérard Villemin, «Section du cube »
    (consulté le
    )


    .




  2. IREM de Paris Nord, «Section du cubes et de pyramide »
    (consulté le
    )


    .




  3. Chuanming Zong, «What is known about unit of measurement cubes »,
    Bulletin of the amarican mathematical society,
    vol. 42,
    northwardo
     ii,‎

    (lire en ligne)

    , p. five




  4. Jean Chevalier et Alain Gheerbrant,
    Dictionnaire des symboles, Laffont,
    ,
    p. 328

    .

Voir aussi

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Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexes

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  • Cubane
  • Cube adouci
  • Cuboctaèdre
  • Cuboctaèdre tronqué
  • Petit rhombicuboctaèdre

Lien externe

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Matthieu Aubry, «Le chemin le plus court sur le cube », sur
matthieu.net



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    Portail de la géométrie



Combien De Sommet a Un Cube

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Cube

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