Calculer Les Coordonnées D Un Point Dans Un Repère Orthonormé

Calculer Les Coordonnées D Un Point Dans Un Repère Orthonormé





CALCUL DANS Un REPERE












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Après avoir compris la représentation d'united nations repère, la mise en place de points et de ses coordonnées, on va me demander d'effectuer des calculs, chaque fois bien entendu, vérifiables sur le dessin.

Comme je vous fifty'ai dit dans la fiche concernant les coordonnées de points, l'ensemble de ces calculs est basé sur les coordonnées


x

et

y

des points concernés : comme tout calcul, leur utilisation est très elementary : il suffit seulement d'apprendre des formules........ Alors on y va ........




Les calculs que je peux faire avec des coordonnées de points :





Calcul de la distance entre two points



Si je veux (ou on me demande) par exemple de calculer la mesure du segment formé par 2 points du repère.

La formule de calcul de distance entre 2 points à savoir par coeur :




Pour une altitude AB donnée on a :











Interprétation de la formule





:

Cette formule a 50'air très complexe, mais pas tant que ça : dictons la avec nos mots à nous :
"Une altitude entre two points se calcule en faisant les différences respectives des


ten

et

y

de chacun des deux points du segment pris en compte dans le calcul : ces 2 différences sont ensuite élevées au carré, puis additionnées entre elles : la altitude effective s'obtient par la racine carrée du résultat de cette improver". Unproblematic non ??

La règle


: on soustraira toujours les coordonnée du bespeak, origine du segment, à celles du point , extrêmité du segment


Dans un repère orthonormé O, I, J, de norme 1 cm, on donne : A ( iii ; -1) et B ( 0 ; 2)



Tracer la figure correspondante
Calculer AB

1. Je trace mon repère et place mes points A et B conformément à leurs coordonnées comme vu dans la fiche N° 1.










2. Pour calculer AB, j'applique bêtement la formule que je viens d'apprendre par coeur :

AB =





Je regarde mes coordonnées de points :

A ( 3 ; -1)

cela signifie que


x

A


= iii et


y


A


= -1

B ( 0 ; 2)

cela signifie que


ten

B


= 0 et


y


B


= 2

Je peux maintenant remplacer les termes de ma formule par leur valeur :

AB =

Je vais effectuer le calcul de mon expression :





(0 -3)


2


= (-three)


2


= 9
(ii - (-one))


2


= (two + i)


2


= 3


2


= ix
nine + ix = 18




AB =
18
AB = 4,24 cm



Je peux vérifier cette longueur de segment avec ma règle sur le dessin.




Calcul des coordonnées du milieu d'un segment



Si on me demande de le faire, ou si je veux (ou on me demande) de montrer qu'united nations bespeak est milieu d'united nations segment.




Cascade un segment AB donné, le milieu I de ce segment aureola pour coordonnées :





I (;
)











Interprétation de la formule :




Cette formule est tout de même plus elementary que la 1ère not ? Elle signifie que les coordonnées du milieu d'united nations segment correspondent à
(la moitié) des sommes respectives des


10

et

y

de chacun des deux points du segment.


Reprenons le même repère orthonormé O, I, J, que ci-dessus et les mêmes points: A ( 3 ; -ane) et B ( 0 ; 2)

Tracer la effigy correspondante
Déterminer par le calcul les coordonnées de I, milieu du segment AB. Puis placer le sur le dessin

ane. Je trace mon repère et identify mes points A et B conformément à ci-dessus :










2. Pour calculer les coordonnées de I, milieu du segment AB , j'applique bêtement la formule que je viens d'apprendre par coeur :
I (;
)


Je regarde mes coordonnées de points :

A ( iii ; -ane)

cela signifie que


x

A


= 3 et


y


A


= -1

B ( 0 ; ii)

cela signifie que


x

B


= 0 et

y

B


= two

Je peux maintenant remplacer les termes de ma formule par leur valeur :

I (
)

Je vais effectuer le calcul de mon expression :








=







= 1,5
=
= 0,v





I (1,5 ; 0,5)



Je place mon point I sur le dessin, comme demandé. Bien entendu, je vérifie la cohérence de mon placement :













On aurait pu également me donner comme énoncé


:




Le même repère orthonormé O, I, J, que ci-dessus et 3 points: les 2 mêmes A ( iii ; -1) et B ( 0 ; 2) + united nations point I ( one,five ; 0,5)

Tracer la figure correspondante
Montrer que I est le milieu du segment AB

one. Je trace la effigy (celle de ci-dessus)












2. Pour montrer que I est le milieu du segment AB, il me suffit de montrer que ce indicate possède les mêmes coordonnées que le milieu de ce segment, conformément au calcul des coordonnées du milieu d'united nations segment que je viens d'éffectuer :

Le milieu de AB a pour coordonnées (on pourrait le nommer K) :

M



()

M



(
)









=







= 1,5
=
= 0,5





K (one,five ; 0,v)




M a les mêmes coordonnées que I
Grand = I ; Donc I milieu de AB




Calcul des coordonnées d'un vecteur












Ah ces fameux vecteurs - les pauvres, ils ne sont les amis de personne : c'est dommage, car leur concept due north'est pas plus compliqué qu'un autre. Nous avons déjà abordé le sujet dans le chapitre sur les transformations : oui, rappelez-vous le vecteur est l'acteur principal de la translation.

Et bien dans un repère, un vecteur, c'est la même chose :

Il est représenté par two points qui délimitent sa mesure. Comme toujours, il a un sens, celui de sa flèche et une management (c'est sa pente) (souvenez-vous :


voir fiche
)

Dans un repère, il aura en plus des coordonnées : et oui, comme un betoken : même principe : une valeur en


ten

et une valeur en


y :

comme pour united nations bespeak les coordonnées du vecteur peuvent se lire sur le dessin, mais surtout se calculent : c'est la manière la plus sûre d'obtenir des coordonnées exactes. La lecture sur le dessin sert souvent de vérification du calcul.






La formule de calcul des coordonnées d'un vecteur





:



Pour deux points AB donnés , les coordonnées du vecteur
formé par ces points
sont égales à :





(




x




B


-




x




A


;




y





B


-




y




A

)










Interprétation de la formule :




Les formules sont de plus en plus simples, n'est-ce pas ? Cette formule revient à faire la soustraction respectives des


x

et

y

de chacun des deux points formant le vecteur : "Soustraction des coordonnées du indicate origine du vecteur de celles du signal "destination" du vecteur (c'est le sens du vecteur exprimé par la flèche)"

Ici, on va bien de A vers B, donc on soustrait les coordonnées de A à celle de B ; si on était allé de B vers A, on aurait eu alors united nations vecteur
.(opposé d'ailleurs au vecteur











) - les coordonnées de ce vecteurs auraient donc été obtenues par la soustraction des coordonnées de B à celles de A : simple non ??




Même repère que d'habitude - Mêmes points A et B avec A ( 3 ; -1) et B ( 0 ; 2)

Tracer la effigy correspondante
Calculer les coordonnées du vecteur












puis vérifier ses coordonnées sur le dessin; calculer ensuite les coordonnées du vecteur
. Que remarque-t-on ?

1. Je trace mon repère et place mes points A et B conformément à ci-dessus :










Je n'oublie pas cette fois-ci, puisque je parle de vecteur, de représenter la flèche qui indiquera son sens : ici, vecteur










: sens : de A vers B (bas en haut)

ii. Pour calculer les coordonnées de











, il me suffit d'appliquer bêtement la formule que je viens d'apprendre par coeur :




(




x




B


-




x




A


;




y





B


-




y




A

)





Je regarde mes coordonnées de points :

A ( 3 ; -1)

cela signifie que


x

A


= 3 et


y


A


= -ane

B ( 0 ; 2)

cela signifie que


10

B


= 0 et


y


B


= ii

Je peux maintenant remplacer les termes de ma formule par leur valeur :






(









-




iii




;






two

-

(-1)



)




Je vais effectuer le calcul de mon expression :



0 - iii = -3
ii - (-1) = 2 + ane = 3








(-3 ; three)



Comme demandé, je vais maintenant vérifier que les coordonnées du vecteur que je viens de calculer sont exactes :






Méthode


:




Pour vérifier les coordonnées de mon vecteur, je regarde le "chemin" que je dois parcourir sur mon dessin pour me rendre du signal A au point B : le "chemin" réalisé à l'horizontale correspondra au

ten

de mon vecteur, le "chemin" parcouru à la verticale sera le

y

de mon vecteur :





Une règle très importante de lecture



:


  • si je




    recule




    cascade

    10

    ,ou




    descend




    pour

    y

    par rapport à mon signal de départ,




    ma coordonnée sera négative



  • si j



    'avance




    cascade

    10

    ,ou




    monte




    pour

    y

    par rapport à mon indicate de départ,




    ma coordonnée sera positive













    Lecture des coordonnées de














    :
















    Cascade aller de monday point A à mon betoken B je :



    • Recule de three graduations à l'horizontale

    • Monte de 3 graduations à la verticale




    Conformément à ce que je viens de voir, cela signifie que :


    • x













      sera




      négatif




      puisque je recule à l'horizontale


    • y














      sera




      positif




      puisque je monte à la verticale


    • x

      sera négatif de 3, puisque je recule de iii graduations à l'horizontale


    • y

      sera positif de 3, puisque je monte de 3 graduations à la verticale



    Résultat : coordonnées de















    par lecture graphique :











    (-3 ; 3)



    Mon calcul vient d'être vérifié par la lecture ; je suis donc sûre que mon résultat est correct (à moins de grand'être trompée les 2 fois)

    iii. Calculons maintenant les coordonnées de










    , selon la même méthode :





    (



    x




    A


    -




    x




    B


    ;




    y





    A


    -




    y




    B

    )





    Je regarde mes coordonnées de points :

    A ( 3 ; -1)

    cela signifie que


    10

    A


    = 3 et


    y


    A


    = -ane

    B ( 0 ; 2)

    cela signifie que


    x

    B


    = 0 et


    y


    B


    = two

    Comme tout à 50'heure, Je peux maintenant remplacer les termes de ma formule par leur valeur :





    (



    3




    -









    ;






    (-ane)

    -

    2



    )




    J'effectue le calcul de mon expression :

    iii - 0 = three
    (-i)



    -

    two = -3

    Mon vecteur

    a pour coordonnées (3 ; - 3)

    Qu'est-ce que je remarque ? que les coordonnées du vecteur

    sont l'opposé des coordonnés du vecteur















    . logique me direz-vous, puisque les ii vecteurs sont opposés :
    cette remarque entraîne donc une propriété que je dois connaître :








    Si deux vecteurs sont opposés, alors leurs coordonnées aussi sont opposés.











    Calcul de l'égalité de deux vecteurs



    C'est sans doute la partie la moins incorporate par le plus grand nombre : elle n'a pourtant comme d'habitude, rien de très compliquée !!

    Nous abordons ici le thème de l'égalité de 2 vecteurs déjà expliquée également dans le chapitre sur les translations



    Ce que je sais déjà sur 50'égalité de 2 vecteurs, cascade 50'avoir lu dans cette fiche


    :



    2 vecteurs sont égaux si :


    • Ils ont la même mesure

    • Le même sens

    • La même management : cette propriété signifiant que two vecteurs égaux




      sont parallèles




    Ce que je dois maintenant savoir sur l'égalité de 2 vecteurs dans united nations repère, et notamment pour le calcul des coordonnées d'united nations indicate


    :




two vecteurs égaux :


  • Ont les mêmes coordonnées

  • Forment un parallèlogramme (puisque même mesure, et parallèles)








Et les propriétés inverses :




Si two vecteurs :


  • Ont les mêmes coordonnées

  • Forment un parallèlogramme,


alors ils sont égaux



Pourquoi ces propriétés sont-elles très importantes


?

Car très souvent, dans un exercice sur les repères, elles vont me servir :




Pour montrer que le quadrilatère formé par 4 points dont j'ai les coordonnées est un parallèlogramme



Pour calculer les coordonnées d'un signal, qui sera l'un des four sommets d'un parallèlogramme












Egalité de 2 vecteurs pour former united nations parallèlogramme





:

Enoncé


: Dans un repère orthonormé, on place les points suivants :
A(-1 ; 1) B (i ; 0) C( two ;one ) D (iv ; 0)

Tracer le repère et placer les points
Montrer par le calcul que le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme

1. Je trace mon repère et identify mes points A, B, C et D comme je sais si bien le faire maintenant :










Il semble bien que le quadrilatère formé par les iv points ainsi placés soit un parallèlogramme.Il va me falloir maintenant le montrer par le calcul. Comment?

Et bien simplement en utilisant la propriété d'égalité de two vecteurs:

Si ii vecteurs sont égaux, alors le quadrilatère formé par leurs four points est united nations parallèlogramme.



Et comment montrer que ii vecteurs sont égaux


? Et bien simplement en utilsant la propriété d'égalité de2 vecteurs dans un repère:

"ii vecteurs sont égaux si leurs coordonnées sont égales."

Pour montrer que ABDC est un parallèlogramme, je vais donc regarder si les coordonnées du vecteur















sont égales à celles du vecteur
.





Attention





: je prends garde de comparer 2 vecteurs qui ont déjà le même sens,et apparemment la même direction (semblent parallèles) : j'aurais pu également comparer les coordonnées des vecteurs

et
ou encore les vecteurs

et

ou
et: le principe aurait été exactement le même !!

Si fifty'égalité des coordonnées des two vecteurs est vérifiée, cela voudra dire que les 2 vecteurs sont égaux, et donc, que leurs 4 points forment un parallèlogramme.
Facile non ?



a. Je calcule les coordonnées du vecteur





















(



ten




B


-




x




A


;




y




B


-




y




A

)











(ane - (-i) ; 0 - 1)














( ii ; -1)

b. Je calcule les coordonnées du vecteur






(



x




D


-




ten




C


;




y




D


-




y




C

)





(4- 2 ; 0 - 1)
(ii ; - 1)


Youpii !!! Les coordonnées des 2 vecteurs sont bien égales ; je vais donc pouvoir écrire :














=
, donc le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme.


Et voilà : ma démonstration est terminée !

Remarque


: j'aurais aussi pu avoir 50'énoncé suivant :

Même repère et mêmes coordonnées de points à placer.

Tracer le repère et placer les points
Calculer les coordonnées de















et
. Que constate-t-on ? Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ?

Après avoir calculé les coordonnées des 2 vecteurs par la même méthode, j'aurais conclue :
"Je constate que les vecteurs















et

sont égaux, car ils ont les mêmes coordonnées. Je peux donc dire que le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme."





Egalité de two vecteurs cascade trouver les coordonnées d'united nations point, 4è sommet d'un parallèlogramme





Enoncé


: Dans un repère orthonormé, on identify les points suivants :
A(-1 ; 1) B (i ; 0) C( 2 ;i )

Tracer le repère et placer les points
Calculer les coordonnées du point D cascade que le quadrilatère ABCD soit un parallèlogramme. Placer le point D dans le repère

Le problème est posé inversement du précédent. Je vais donc me servir des mes propriétés d'égalité de 2 vecteurs, mais à l'envers.

1. Je trace monday repère et place mes 3 points A, B, et C











Je regarde


: pour que le quadrilatère ABDC soit un parallèlogramme, il semblerait qu'il faille que le point D se situe au point de coordonnées (iv ; 0). Je vais devoir le vérifier par le calcul. Annotate ? Et bien simplement en partant du fait que si le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme, cela implique que














=

(ou

=
;

=
ou encore
=)

Et si















=
alors les coordonnées de














sont égales à celles de

: logique non ??

Je vais donc, comme tout à fifty'heure, calculer les coordonnées de
















et les coordonnées de



a. Coordonnées du vecteur





















(



x




B


-




ten




A


;




y




B


-




y




A

)











(1 - (-one) ; 0 - 1)














( 2 ; -ane)

b. Coordonnées du vecteur






(



ten




D


-




ten




C


;




y




D


-




y




C

)




Et c'est là que le problème se pose


: je ne connais pas les coordonnées du point D, puisque je les cherche. Par contre, comme je viens de l'expliquer, vu que ABCD doit être united nations parallèlogramme,















doit être égal à, donc avoir les mêmes coordonnées.

Je peux donc dire
=















Je sais que(2 ; - 1)

C'est grâce à cela que je vais pouvoir déterminer les coordonnées de mon point D.
Comment ?
Je peux écrire :


10



=

2

= x


D


-

x

C


= x

D


-

ii





y



=

- 1

= y

D


-

1






DONC : 2

= x


D


-

2


et - 1

= y

D


-

ane
Comme je résouds n'importe quelle équation, je vais extraire

ten

D


et

y

D


10

D



=



ii + 2

x

D



=



4


y

D



=



- 1 + one

y

D



=











Mon point D aura donc cascade coordonnées (4 ; 0 )

Je le place comme demandé sur monday repère : le point D occupe bien la identify que je lui avais prévue par la lecture : avec un signal D de coordonnées (4 ; 0), le quadrilatère ABDC est bien un parallèlogramme










Et voilà le tour est joué ! Nous venons de voirl'ensemble des exercices demandés dans un repère.




ATTENTION





: il existe également un chapitre très important gérant l'utilisation d'un repère, et de coordonnées de points : c'est celui des fonctions (affines et linéaires). Ce chapitre sera traité prochainement dans la partie activité numérique : une bonne raison de ne jamais perdre de vue la signification et 50'utilisation de repères et de coordonnées de points, n'est-ce pas ??

Calculer Les Coordonnées D Un Point Dans Un Repère Orthonormé

Source: http://stefladino.free.fr/maths/geometrie/calculs%20dans%20un%20repere.htm

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