Est-ce Que Tous Les Nombres Impairs Sont Premiers

Est-ce Que Tous Les Nombres Impairs Sont Premiers

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Parité de 4, five et 6 à fifty’adjutant de réglettes Cuisenaire

En arithmétique modulaire, étudier la
parité
d’un entier, c’est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux. Un entier multiple de deux est united nations entier
pair, les autres sont les entiers
impairs.

Histoire

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50’opposition pair/impair apparaît chez Épicharme (vers 490 av. J.-C.) :
« Si tu ajoutes un caillou à un nombre impair de cailloux, ou si tu préfères à un nombre pair, ou si tu enlèves l’un de ceux qui sont déjà là, crois-tu que leur nombre va rester le même ? Not, je ne le crois pas »
(Diogène Laërce, 3, 11).

Chez les pythagoriciens, la notion de limité est positive comme celle d’illimité négative, et le nombre impair est masculin, limité, positif, tandis que le nombre pair est féminin, illimité, négatif
[1]
. Aristote explique cette correspondance entre impair et limité, pair et illimité à partir de la représentation des nombres par un gnomon, effigy coudée à angles droits qui reste quand on détache d’un carré un carré plus petit :
« pour les uns [les Pythagoriciens], l’infini, c’est le pair ; car, saisi et limité par fifty’impair, il apporte aux êtres l’infinité ; une preuve en est ce qui arrive dans les nombres ; en ajoutant les gnomons autour de 50’Un et cela à part (cascade les pairs et les impairs), on obtient tantôt une figure toujours différente, tantôt la même
[2]
. »

Euclide, dans ses
Éléments
(Livre VII et Livre 9 – propositions 21 et suivantes), étudie les propriétés des nombres pairs et impairs et définit aussi les nombres pairement pairs (double d’united nations nombre pair), pairement impairs (produit d’un nombre pair et d’un nombre impair), impairement impair (produit de deux nombres impairs) mais exclut de son étude le nombre 1 et le nombre 0.

Nombres pairs et impairs

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Tout entier est soit pair soit impair.

  • S’il est multiple de deux, c’est un nombre pair. Par exemple, les nombres : -4, 8, et 60, sont pairs. Le nombre zéro est pair, parce qu’il est égal à ii multiplié par 0.
  • Sinon, le nombre est impair. Par exemple -5, three, et 71 sont impairs. Le nombre united nations est impair, c’est le plus petit entier naturel impair.
Popular:   Dissertation Sujet Corrigé Olympe De Gouges

Fifty’ensemble des entiers naturels pairs peut être écrit comme ceci :

Entiers naturels pairs
= {0, 2, 4, 6, 8, x, 12, xiv,…} =




{
2
north



n




N

}
=
2

North



{\displaystyle \{2n\mid northward\in \mathbb {Due north} \}=2\mathbb {N} }



et l’ensemble des entiers relatifs pairs peut s’écrire comme ceci :

Entiers relatifs pairs
= {…, –8, –6, –4, –2, 0, 2, four, half dozen, 8, 10, 12, 14,…} =




{
2
due north



n




Z

}
=
2

Z



{\displaystyle \{2n\mid due north\in \mathbb {Z} \}=two\mathbb {Z} }



De même, les ensembles des entiers impairs naturels ou relatifs s’écrivent :

Entiers naturels impairs
= {i, iii, five, 7, 9, 11, …} =




{
2
n
+
i



north




N

}


{\displaystyle \{2n+1\mid due north\in \mathbb {N} \}}



Entiers relatifs impairs
= {…, –ix, –7, –5 , –three, –1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, xiii,…} =




{
2
northward
+
1



n




Z

}


{\displaystyle \{2n+1\mid north\in \mathbb {Z} \}}



Tout entier naturel pair sauf zéro se décompose de manière unique en produit d’une puissance de deux et d’un entier naturel impair.

18 se décompose en 2 × 9
504 = eight × 63 = two3
× 63


Arithmétique des nombres pairs et impairs

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Les propriétés suivantes peuvent être vérifiées en utilisant les propriétés de la divisibilité. Elles sont un cas particulier de propriétés d’arithmétique modulaire, et sont communément utilisées cascade vérifier si une égalité semble correcte en testant la parité de chaque côté :


Somme et différence

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La somme des
n
premiers nombres impairs est
n² 1+3+five+…+(twodue north-1)=north². Animation 3D de deux vues sur united nations tétraèdre.

Les propriétés analogues à celles-ci cascade la divisibilité par 9 sont utilisées dans la méthode de preuve par neuf :

  • pair ± pair = pair ;
  • pair ± impair = impair ;
  • impair ± impair = pair.

Où “pair ± pair = pair” est à comprendre comme :
la somme ou la différence de deux entiers pairs est un entier pair. De manière plus générale, une somme ou différence de plusieurs entiers pairs est toujours paire. Une somme ou différence de plusieurs entiers impairs est :

  • paire quand le nombre d’entiers qui la compose est pair ;
  • impaire quand le nombre d’entiers de la somme est impair.

La somme des
n
premiers nombre impairs est
due north². Autrement dit, pour tout entier
n
supérieur à one, on a : 1 + three + five + … + (2n-1) =
n². Voir l’animation pour une preuve sans mots. C’est un cas particulier de somme des termes d’une suite arithmétique.

Produit

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Le produit de deux entiers est pair si et seulement si fifty’un (au moins) des deux facteurs est pair :

  • pair × pair = pair ;
  • pair × impair = pair ;
  • impair × impair = impair.

En effet, cascade tous entiers
north,
k
et
thou
on a : 2north
×
1000
= 2(nk), tandis que (2n
+ 1) × (iichiliad
+ one) = ii(2nm
+
n
+
m) + 1.


Divisibilité et quotient

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Un nombre pair ne peut jamais diviser united nations nombre impair. United nations nombre impair peut diviser un nombre pair mais alors, il divise aussi sa moitié.

Le quotient de deux nombres entiers north’est pas nécessairement un nombre entier. Par exemple, one divisé par 4 égale 1/iv, qui n’est ni pair ni impair, les concepts pair et impair ne s’appliquant que sur les entiers. Mais lorsque le caliber est united nations entier, c’est-à-dire quand fifty’un divise l’autre, on peut établir les règles suivantes :

  • pair / impair = pair ;
  • impair / impair = impair ;
  • impair / pair due north’est jamais un entier ;
  • pair / pair peut être pair ou impair.

Exposant

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Si a est united nations réel strictement négatif et north un entier naturel, alors le signe de anorth
dépend de la parité de n :

  • si northward est pair alors an
    est positif ;
  • si n est impair alors an
    est négatif.

Si P est une fonction polynomiale à valeurs dans





R



{\displaystyle \mathbb {R} }



 :

  • si tous les exposants de x sont pairs, alors, pour tout réel x, P(–ten) = P(ten) ;
  • si tous les exposants de 10 sont impairs, alors, pour tout réel x, P(–x) = –P(10).

On dit que les polynômes du premier type sont pairs et les polynômes du deuxième type sont impairs.

Si P(x) = x4

+ 7x2
– five, alors P est pair
Si P(x) = xv

+ 8x3
– 6x, alors P est impair

C’est cette référence à la parité de fifty’exposant qui a donné leur nom aux fonctions paires et impaires.


Résultats utilisant la parité

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Écriture en base

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Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, two, iv, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou ix alors le nombre est impair.

Le même système est utilisable dans n’importe quelle base paire. En particulier, un nombre exprimé en système de numération binaire est impair si son dernier chiffre est ane et pair si son dernier chiffre est 0.

Dans une base impaire, le nombre est pair si la somme de ses chiffres est paire, et est impair si la somme de ses chiffres est impaire.

Tout nombre
due north
pair ≥ viii est un nombre brésilien machine il existe
yard
≥ 4 tel que
n
= 2 ×
k, donc il s’écrit avec le seul chiffre 2 dans la base
m–1 :
n
= 22
chiliad–1

avec chiliad – 1 ≥ 3.


Nombres premiers, nombres parfaits

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Tous les nombres premiers sont impairs, avec une exception : le nombre premier 2.

Aucun nombre pair northward’est premier, avec une exception : le nombre premier two.

La theorize de Goldbach établit que chaque entier pair supérieur à 2 peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers. Les calculs modernes par ordinateur ont montré que cette conjecture est vraie pour les entiers inférieurs à 4 × 1014, mais la démonstration générale n’a pas encore été trouvée.

Tous les nombres parfaits connus sont pairs ; nous ne savons toujours pas southward’il existe un nombre parfait impair.

Structures

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Les nombres pairs forment un idéal dans 50’anneau des entiers, mais pas les nombres impairs. Un entier est pair due south’il est congru à 0 modulo cet idéal, en d’autres termes south’il est congru à 0 modulo ii, et impair due south’il est congru à i modulo 2.

Le théorème de Feit-Thompson établit qu’un groupe fini est toujours résoluble si son ordre est united nations nombre impair. Ceci est united nations exemple de nombres impairs jouant un rôle dans les théorèmes de mathématiques plus poussées où la méthode d’application d’une uncomplicated hypothèse d’« ordre impair » est loin d’être évidente.

Musique

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Avec les instruments à vent qui sont cylindriques et clos à une extrémité, comme la clarinette à bec, les harmoniques produits sont des multiples impairs de la fréquence fondamentale.


Références

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  1. (en)
    Walter Burkert,
    Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard University Press,

    (lire en ligne),
    p. 32-33

    .


  2. Aristote,
    Physique, Iii, 4, 203a11, Les Belles Lettres, t. I, p. 96. P. 164 : le gnomon.


  • icône décorative

    Arithmétique et théorie des nombres



Est-ce Que Tous Les Nombres Impairs Sont Premiers

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Parit%C3%A9_%28arithm%C3%A9tique%29

Popular:   Sujet Dissert Les Fleurs Du Mal

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