Plus Grand Nombre Pair De Trois Chiffres Distincts

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Mathématiques
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Combinatorics

Calculator



p
objets parmi les
n



Binomial Police force

Calculator



probabilité
p
donnant
g

succès en
n
répétitions


Mathématiques two: Analyse combinatoire

Résumé & applications


I. Résumé



Pour une expérience aléatoire, on s’interesse au nombre de possibilités d’avoir

p objets

parmi les
n objets
disponibles.

Exemple:

Combien de paires de billes peut-on former avec three billes: une verte, une blue, et une rouge?


arranger = mettre en ordre
combiner = assembler, réunir

permuter = échanger, intervertir

1. Avec ordre et avec remise

C’est le nombre d’arragements avec répétition de
p objets
parmi
n objets.


Le nombre d’arragements avec répétition d’une paire de couleurs à partir de trois est A(2,3) = iii2
= 9.

ii. Avec ordre et sans remise

C’est le nombre d’arragements sans répétition de
p objets
parmi
n objets.

Lorsqu’on arrange
north objets
parmi
north objets, nous avons A(p,due north)= n!/(northward-p)!= north!

C’est le nombre de
permutations de
n objets distincts
.


Lorsque les objets ne sont pas tous distincts et se groupent en rane
objets d’une sorte, rii
objets d’une autre sorte, … rchiliad
objets d’une autre sorte; le nombre de permutations est égal à:
p(n) = n!/r1!r2!…rk!




Le nombre de façons d’arranger, sans répétition, une paire de couleurs à partir de trois est
A(2,three) = 3!/(iii – two)! = vi.

iii. Sans ordre et sans remise:

C’est le nombre de combinaisons sans répétition de
p objets
parmi
n objets.


Le nombre de façons de combiner, sans répétition , une paire de couleurs à partir de trois est

C(2,3) = three!/ii!(3 – 2)! = 3.

4. Sans ordre et avec remise:

C’est le nombre de combinaisons avec répétition de
p objets
parmi
n objets.


Le nombre de façons de combiner, avec répétition , une paire de couleurs à partir de trois est

D(2,iii) = (iii+2-ane)!/2!(3 – 1)! = 6.


2. Exercices




Exercice 1

Question:

Combien de nombres à deux chiffres peut-on former avec les chiffres i, 3 et 5 ?

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort deux billes d’une boite qui en contient trois, une verte, une rouge et une blue, avec ordre et avec remise.

Réponse:

C’est le nombre d’arrangements avec répétition de two parmi 3 =

A(2,3) = three2
= 9 nombres : qui sont:

11, 13, fifteen, 31, 33, 35, 51, 53, 55.

Il y a nine façons différentes de former un nombre de deux chiffres à partir de trois chiffres.

Exercice 2

Question:

De combien de façons différentes peut-on placer, sans stardom, iii personnes sur v chaises ?

Autrement dit:

De combien de façons peut-on cocher iii cases sur un ensemble de 5 cases ?

Première étape: on coche une case parmi les 5. Deuxième étape: on coche une example parmi les 4 qui restent, puisq’on on ne peut pas cocher une case une deuxième fois. Et ainsi de suite jusqu’à la dernière.
L’expérience est donc sans répétition.

On ne fait aucune distinction pour placer les personnes; anisi l’ordre n’est pas important.

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort trois billes d’une boite qui en contient cinq de couleur différentes sans remise et sans ordre.

Réponse:

C’est le nombre de combinaisons de 3 parmi 5 =

C(3,5) = five!/3!(5 – 3)! = five!/3!2! = 4 ten five /ii = 10.

Il y a x façons différentes d’occuper 3 places parmi five disponibles.

Exercice three

Question:

Combien de selections différentes doit-on remplir pour gagner à coup sûr le gros lot du loto 6/49?

Autrement dit:

De combien de façons différentes peut-on cocher 6 cases sur un ensemble de 49 cases ?

Bien entendu, cocher des cases est une expérience sans remise.

L’ordre des nombres dans une selection du loto 6/49 n’a pas d’importance.

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort 6 billes d’une boite qui en contient 49 de couleur différentes sans remise et sans ordre.

Réponse:

C’est le nombre de combinaisons de half-dozen parmi 49 =

C(3,5) = 49!/six!(49 – vi)! = 13 983 816.

Il y a peu près fourteen millions de selections à remplir pour gagner à coup sûr le gros lot du loto six/49.

Exercice 4

Question:

Combien de mots de cinq lettres distinctes peut-on quondam avec les huit lettres du mot “question”?

Le mot “question” comprend 8 lettres.

Ici, on veut old des mots avec des lettres distinctes. Il southward’agit donc d’une expérience sans répétition.

L’ordre des lettres dans un mot est important: le mot “cas” est différent du mot “sac”.

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort 5 billes d’une boite qui en contient eight de couleur différentes sans remise et avec ordre.

Réponse:

C’est le nombre d’arragements sans répétition de 5 parmi viii =

A(5,viii) = 8!/(viii – five)! = viii!/three! = 4 x 5 x six x 7 x 8 = 6720

Il y a 6720 mots, de lettres distinctes, qu’on peut former avec les 8 lettres : q, u, e, s, t, i, o, et north.
.

Exercice 5

Question:

De combien de manières différentes peut-on former une hiérarchie de 4 personnes dans équipe de 10 personnes?


Le choix d’une personne élimine la répétition.

La hiérarchie impose l’ordre.

D’une façon équivalente:

Combien peut-on former de nombres de deux chiffres distincts à partir de 3 chiffres?

Le mot “distincts” élimine la répétition. 50’ordre est important. Les nombres sont ordonnés de toutes façons: (34 ≠ 43).

Il s’agit donc d’une expérience sans répétition avec ordre.

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort 4 billes d’une boite qui en contient ten numérotées i à 10; sans remise et avec ordre.

Réponse:

C’est le nombre d’arragements sans répétition de 4 objets parmi 10 objets =

A(4,x) = 10!/(10 – 4)! = ten!/!six =

vii 10 viii x nine ten 10 = 5040.


Il y a 5040 manières différentes de former united nations hiérarchie de four personnes dans un groupe qui en contient 10
.

Exercice six

Question:

Combien de nombres compris entre 300 et 600 peut-on former avec les chiffres {0, 1, two, three, 4, five, vi, 7}, si chaque chiffre ne peut être utilisé plus d’une fois?

D’une façon équivalente:

Combien peut-on onetime de nombres de trois chiffres distincts dont le chiffre des centaines est iii ou 4 ou five; à partir des chiffres {0, 1, ii, 3, four, 5, 6, seven}?

Le mot “distincts” élimine la répétition.

Fifty’ordre est of import. Les nombres sont ordonnés de toutes façons: (341 ≠ 143).

Il s’agit donc d’une expérience sans répétition avec ordre.
Mais il y a une contrainte: le chiffre des centaines est 3 ou 4 ou five

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort iii billes d’une boite qui en contient 8 numérotés 0 à 7; sans remise et avec ordre; dont le premier tirage donne la bille #3 ou #iv ou #5?

Réponse:

Pour former united nations tel nombre, on effectue deux opérations:
– La première est de choisir le premier chiffre qui doit commencer par 3 ou 4 ou v.
Il y a iii possibilités.

– À cette opération, southward’ajoute la deuxième qui consiste à
arranger deux autres chiffres parmi les seven qui restent
. Il y a A(2,seven).

En tout, il y a 3 x A(2,7) = iii x 7!/(7 – 2)! =

3 x seven!/v! = 3 ten (6 x 7) = 126


Il y a 126 manières différentes de former un nombre de 3 chiffres distincts compris entre 300 et 600.

Exercice vii

Question:

De combien de manières différentes peut-on placer twenty élèves dans 3 classes différentes de 8, 7, et 5 places numérotées chacune?

Le mot “différentes” élimine la répétition.

Le mot numérotées impose l’ordre.

Il southward’agit donc d’une expérience sans répétition avec ordre.

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort 20 billes d’une boite qui en contient viii rouges, 7 dejection, et 5 vertes ; sans remise et avec ordre?

Réponse:

P(20) = 20!/(eight!7!5!) = 99768240.


Il y a 99768240 manières différentes de placer 20 élèves dans iii classes différentes de viii, 7, et 5 places numérotées chacune.

Exercice 8

Question:

Combien de mots peut-on former en prenant toutes les lettres du mot “exercice”?

Ce mot contient viii lettres pas toutes distincts. Il y a trois lettres “east” identiques et deux lettres “c” identiques.

L’ecriture d’united nations mot necessite un ordre et une lettre choisie north’est pas réutilisée. Il s’agit donc d’une expérience sans répétition avec ordre.

Comme on utise toutes les lettres, il south’agit donc d’une permutation

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort 8 billes d’une boite qui en contient three rouges, 2 blues, une jaune, une blanche, et une noire ; sans remise et avec ordre?

Réponse:

P(6) = vi!/three!two!1!1!1!= 60


Il y a 60 manières différentes de former des mots en prenant toutes les lettres du mot “exercice”.

Exercice 9

Question:

Combien de mots peut-on quondam en prenant toutes les lettres du mot “scientifiques” et en regroupant toutes les consonnes ?

Ce mot contient 13 lettres pas toutes distincts. Il y a trois lettres “i” identiques, deux lettres “e” identiques, et deux lettres “s” identiques. Les six lettres qui restent sont: c, n, t, f, q, et u.

Ce mot contient 6 voyelles et 7 consonnes.

Reformuler la question:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort 13 billes d’une boite qui en contient 3 rouges, 2 dejection, two vertes, une blanche, et 5 autres de couleurs différentes; en regroupant les billes rouges, bleues, vertes et la blanche; sans remise et avec ordre?

Réponse:

On regroupe les consonnes toutes seules dans un groupe “C” et les voyelles toutes seules dans un autre groupe “V”.

C = {s, south; c, n, t, f, q} V = {i,i,i; due east,east; u}

On décompose donc la formation du mot suivant deux étapes:

a) Permuter les 6 voyelles et le groupe des consonnes,

c’est à dire permuter les éléments {i,i,i; east,e; u; C}
b) Permuter les consonnes {s, s; c, n, t, f, q}

c) Multiplier les deux permutations.

a) P(voyelles et C) = (6 + ane)!/3!2!1!one! = 420

b) P(consonnes) = 7!/2!1!1!1!1!1! = 2520

c) Selon le principe de multiplication, on a


P(xiii) = P(voyelles et C) x P(consonnes) =

420 10 2520 = 1 058 400


Il y a 1 058 400 manières différentes de former des mots en isolant les consonnes et en utilsant toutes les lettres du mot “scientifiques”.

Exercice 10

Question:

Combien de mains différentes de v cartes peut-on obtenir en choisissant cinq cartes d’un jeu de 52 cartes ?

Combien de ces mains contiennent un roi de coeur?

Lorsqu’on constiue une primary de 5 cartes, on prend une, puis une deuxième, puis une troisième, puis une quatrième, et ensuite une cinquième. On ne remet pas la carte la carte du jour distribuée. L’ordre n’est pas important. 50’expérience est sans ordre et sans remise. Le nombre de possibilités de former une main est égale à C(5,52).

Maintenant, parmi ces C(5,52), combien y a-t-il de possibilités d’avoir un roi de coeur dans une main?

Reformuler la question:

Parmi les C(2,5) = 10 possibilités de former une paire de billes différentes, tirée au sort sans remise et sans ordre d’une boite qui en contient 5: 1 verte, 1 rouge, 1 bleue, 1 noire, et 1 blanche; combien y a-t-il de possibilités d’avoir une verte?

Réponse:

La formation d’une telle chief se faiten deux étapes:

a) Réserver une carte roi de coeur

b) Combiner iv parmi les 51 cartes

On obtient C(4,51) = 249 900


Il y a 249 900 mains différentes qui peuvent être formées en choisissant cinq cartes d’un jeu de 52 cartes.

Exercice xi

Question:

On veut faire un cadeaux avec v livres. On dispose de fifteen livres, viii de Mathématiques et 7 de Physique.

a) Combien y a-t-il de façons de grouper 5 livres dans le cadeau?

b) Combien y a-t-il de façons de grouper 5 livres dans le cadeau si fifty’on éxige que four livres de Mathématiques soient dans ce cadeau?

c) Combien y a-t-il de façons de grouper five livres dans le cadeau si l’on éxige qu’au moins four livres de Mathématiques soinet dans ce cadeau?

Réponse:

a) On prend un livre cascade qu’il soit mis dans le cadeau. on le remet évidemment pas. Il n’y a donc pas de remise.

Fifty’ordre northward’a pas d’importance. Fifty’expérience est donc sans ordre et sans remise.

b) Il y a C(v,eight) = 56 possibilités de choisir five livres de Mathématiques parmi les eight disponibles.

Pour chacune de ces possibilités, il y a C(5,7) = 21 possibilités de choisir 5 livres de Physique parmi les 7 disponibles.

En tout, nous avons C(five,viii) ten C(v,7) = 1176 possiblités d’assembler 5 livres dans le cadeau.


Il y a 1176 manières différentes d’assembler 5 livres parmi les 15 pour former un cadeau.

b) four livres de Mathématiques sont éxigés. Nnous avons donc C(4,eight) possiblités de les assembler. Pour les livres de Physique, il ne reste, par conséquent, qu’united nations seul livre à considérer cascade avoir five. Il y C(1,7) possiblités de le faire.

Entout, on a C(4,8) ten C(1,7) = 490 possibilités.


Il y a 490 manières différentes d’assembler 5 livres parmi les 15 cascade former un cadeau où 4 de Mathéamatiques sont exigés.

c) “Au moins 4” singnifie iv ou plus.

On aura donc en tout C(4,8) x C(1,7) + C(5,8) 10 C(0,seven) = 490 + 56 = 546


Il y a 546 manières différentes d’assembler five livres parmi les 15 pour one-time united nations cadeau qui doit inclure au mois 4 de Mathéamatiques.



Plus Grand Nombre Pair De Trois Chiffres Distincts

Source: https://scientificsentence.net/Equations/Maths2/probabilites/index.php?key=yes&Integer=resume

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