Quelle Est La Nature D Un Quadrilatère

Quelle Est La Nature D Un Quadrilatère

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Quadrilatères
┌─────────────┼─────────────┐
concave convexe croisé
Concave quadrilateral.png Convex quadrilateral.png Cross-quadrilateral.png
┌─────────────┼─────────────┐
Cyclic quadrilateral.png Trapezium (geometry).png Tangent quadrilateral.png
inscriptible trapèze circonscriptible
| ┌───────────┤ |
Isoceles trapezium.png

trapèze isocèle
diagonales égales
Parallelogram.png

parallélogramme

centre de symétrie
Kite (geometric figure).png

cerf-volant

diagonales perpendiculaires
└─────┬─────┘ └─────┬─────┘
Rectangle (geometry).png

rectangle

angles droits
Rhombus (geometry).png

losange

côtés égaux
└──────────┬─────────┘
Square (geometry).png

carré

En géométrie aeroplane, united nations
quadrilatère
(parfois appelé
tétrapleure
ou
tétragone) est un polygone à quatre côtés. Les trapèzes, parallélogrammes, losanges, rectangles, carrés et cerfs-volants sont des quadrilatères particuliers.


Étymologie

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Le mot « quadrilatère » provient du latin :
quatuor, quatre, et
latus, lateris, côté
[1]

,

[2]
. Le mot équivalent d’origine grecque est tétrapleure (de τεσσερα /
tèssera, quatre, et πλευρά /
pleura, côté)
[iii]

ou tétragone (de γωνία /
gônia, bending). Le mot tétragone était employé par Gerbert d’Aurillac
[iii]

au

Ten
eastward
 siècle et par Oresme
[1]

au

Fourteen
e
 siècle. Le terme quadrilatère est introduit en 1554 par Peletier
[one]

,

[two]
. Certains auteurs employaient le mot « quadrangle » (Alcuin,

VIII
e
 siècle)
[1]

,

[3]

ou « helmuariphe », terme d’origine arabe (Campanus,

13
east
 siècle, et d’autres à la Renaissance)
[1]

,

[3]
. Pour les Grecs, un quadrilatère avec un angle rentrant s’appelait un « koïlogone » (de κοιλοσ /
koïlos, creux)
[one]

,

[3]
, et certains appelaient « trapèze » un quadrilatère dont tous les côtés sont inégaux. « Tétragone » est employé par Euclide dans
Les Éléments
pour désigner le carré
[1]

,

[3]
.


Caractéristiques

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Un quadrilatère est la figure notée « ABCD » formée par :

  • quatre points A, B, C et D : les sommets du quadrilatère ;
  • quatre segments [AB], [BC], [CD] et [DA] : les côtés du quadrilatère.

Les sommets A et C sont dits
opposés ; ainsi que les sommets B et D.
Les diagonales [AC] et [BD] joignent les sommets opposés.

United nations quadrilatère peut être :

  • croisé, si deux côtés opposés se coupent;
  • not croisé, c’est-à-dire uncomplicated, dans le cas contraire. Le quadrilatère découpe alors le programme en deux zones, une, bornée, qui est appelée
    intérieur
    du quadrilatère et l’autre appelée
    extérieur
    du quadrilatère. Parmi les quadrilatères simples, on distingue :

    • les quadrilatères convexes dont les deux diagonales sont à l’intérieur du quadrilatère;
    • les quadrilatères not-convexes dont une diagonale est à l’extérieur du quadrilatère.

Selon le théorème sur la somme des angles d’un polygone, la somme des angles d’united nations quadrilatère non croisé vaut
360
°.


Quadrilatère convexe

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En géométrie élémentaire, une grande place est accordée aux quadrilatères convexes.

Un quadrilatère est convexe si et seulement si, quel que soit le côté que l’on choisit, le quadrilatère est entièrement inclus dans un demi-programme dont la frontière porte ce côté. Cette caractérisation est générale à tout polygone convexe. Dans le cas particulier du quadrilatère, il existe aussi une autre caractérisation : un quadrilatère est convexe si et seulement si les diagonales forment des segments sécants.

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Quand un quadrilatère est convexe, une droite du plan ne passant pas par un sommet ne peut pas rencontrer plus de deux côtés du quadrilatère.

Aire : l’aire d’un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de 50’angle qu’elles forment, fifty’angle utilisé étant le plus petit des deux angles formés par les droites.

L’intérieur d’un quadrilatère convexe ABCD est alors défini comme fifty’intersection des demi-plans délimités par (AB), par (BC), par (CD) et par (DA) et contenant respectivement chacun les points C, D, A et B. Il est alors possible, dans un plan muni d’united nations repère cartésien, de définir l’intérieur d’united nations quadrilatère en comparant des signes : le betoken P(10,y) est intérieur au quadrilatère convexe ABCD si et seulement si les quatre weather suivantes sont vérifiées :

(yB
– yA)x – (10B
– xA)y – xAyB
+ tenByA
a même signe que (yB
– yA)xC
– (10B
– xA)yC
– 10AyB
+ xByA ;
(yC
– yB)ten – (tenC
– xB)y – tenByC
+ xCyB
a même signe que (yC
– yB)xD
– (xC
– tenB)yD
– xByC
+ 10CyB ;
(yD
– yC)10 – (xD
– xC)y – xCyD
+ xDyC
a même signe que (yD
– yC)xA
– (xD
– xC)yA
– tenCyD
+ xDyC ;
(yA
– yD)ten – (xA
– xD)y – xDyA
+ xAyD
a même signe que (yA
– yD)xB
– (xA
– tenD)yB
– xDyA
+ xAyD.


Quadrangle et quadrilatère

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Un quadrilatère dérive directement d’un quadrangle par le regroupement des sommets en deux paires. Pour chaque paire, les deux sommets sont dits
opposés
et le segment qui les joints (côté du quadrangle) n’est plus considéré comme un côté, mais comme une
diagonale
du quadrilatère.

Donc la première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c’est que, contrairement aux triangles, la donnée de leurs sommets ne suffit pas à les définir (mais définit united nations quadrangle, sous certaines atmospheric condition).

En effet, considérons quatre points
A,
B,
C
et
D
(non alignés trois à trois cascade éviter certains problèmes).
Ces quatre points sont les extrémités de six segments distincts : les six côtés du quadrangle : [AB], [AC], [Advert], [BC], [BD] et [CD].
Ces segments peuvent être assemblés, quatre à quatre, pour erstwhile trois quadrilatères distincts (et trois seulement) :

  • [AB] + [BC] + [CD] + [DA] noté
    ABCD ;
  • [AB] + [BD] + [DC] + [CA] noté
    ABDC ;
  • [AC] + [CB] + [BD] + [DA] noté
    ACBD.

Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses
côtés ; les deux autres segments sont ses
diagonales.

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Notation : ainsi
ABCD
est une annotation district cascade définir un quadrangle ou un quadrilatère.

Cependant si l’ordre des points est indifférent pour united nations quadrangle, il doit en revanche être respecté (à une rotation ou un retournement près) pour conserver un même quadrilatère.

Il existe 24 arrangements des quatre points
A,
B,
C
et
D
basés sur le même quadrangle. Il y a trois quadrilatères
ABCD,
ACBD,
ABDC.

Le même quadrilatère
ABCD
peut donc due south’écrire
ABCD,
BCDA,
CDAB,
DABC
dans united nations sens ;
DCBA,
CBAD,
BADC,
ADCB
dans l’autre sens.


Quadrangles et quadrilatères complets

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  • Un quadrangle complet est l’ensemble de 4 points et des 6 droites qui les relient 2 à 2.
  • Un quadrilatère complet est fifty’ensemble de four droites et de leurs 6 points d’intersection two à 2.


Typologie des quadrilatères

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Les quadrilatères quelconques offrent relativement peu d’intérêt, mais permettent de voir ce qui se enshroud derrière les définitions des quadrilatères particuliers bien connus (trapèze, parallélogramme, rectangle, losange, carré, cerf-volant, pseudo-carré, etc.)

Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient par exemple :

Diagonales perpendiculaires

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Les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires sont appelés quadrilatères orthodiagonaux(en). L’aire de tous ces quadrilatères est







D
×


d

ii




{\displaystyle {\frac {D\times d}{2}}}




(où
D
et
d
sont les longueurs des diagonales).

Cette catégorie ne présente pas de régularité d’aspect. Parmi les quadrilatères convexes dont les diagonales sont perpendiculaires, on peut noter :

Quadrilateres a diagonales perpendiculaires.png

  • ceux qui ont deux côtés consécutifs égaux : les cerfs-volants (dont les losanges) ;
  • ceux dont les diagonales sont de même longueur : les pseudo-carrés.


Côtés égaux deux à deux

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Quadrilateres a cotes egaux.png

On n’obtient pas toujours united nations parallélogramme. Pour obtenir united nations parallélogramme, il faut que le quadrilatère soit en outre convexe et que les côtés
opposés
soient égaux. Si le quadrilatère northward’est pas convexe et les côtés opposés sont égaux deux à deux, on obtient un quadrilatère croisé : l’antiparallélogramme.

Si les côtés égaux sont consécutifs deux à deux, on retombe sur le cerf-volant.


Côtés parallèles

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Quadrilateres a cotes paralleles.png

On retrouve là deux classes intéressantes de quadrilatères convexes : les trapèzes et, parmi eux, les parallélogrammes.

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Parmi les trapèzes particuliers, on trouve le trapèze isocèle dont les côtés not parallèles sont de même longueur et le trapèze rectangle qui possède deux angles droits.

Parmi les parallélogrammes particuliers on trouve les rectangles (parallélogrammes à angles droits), les losanges (parallélogrammes à côtés adjacents égaux) et les carrés (à la fois rectangles et losanges).

Quadrilateres remarquables.png

Ainsi, selon cette nomenclature, le carré est le quadrilatère le plus riche en propriétés. Il est aussi l’unique solution du problème isopérimétrique pour les quadrilatères. C’est-à-dire que, parmi tous les quadrilatères de même périmètre, le carré est celui qui possède la plus grande surface.


Quadrilatères inscriptibles

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Les quadrilatères inscriptibles dans united nations cercle sont les quadrilatères dont les sommets sont cocycliques.

Effigy du théorème de Ptolémée :

AC.BD= AB.CD+Advertizing.BC

Le théorème de l’angle inscrit permet la caractérisation suivante : un quadrilatère est inscriptible si et seulement s’il possède deux angles opposés égaux ou supplémentaires : quand les angles sont supplémentaires il s’agit d’un quadrilatère convexe, et quand les angles sont égaux, il southward’agit d’united nations quadrilatère croisé.

En particulier, un trapèze isocèle, un rectangle sont des quadrilatères inscriptibles.

Le théorème de Ptolémée permet d’affirmer qu’un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

La formule de Brahmagupta donne l’aire d’un quadrilatère convexe dont les sommets se situent sur un même cercle en ne connaissant que la longueur de ses côtés.





S
=


(
p



a
)
(
p



b
)
(
p



c
)
(
p



d
)




{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}








p
=


1
two


(
a
+
b
+
c
+
d
)


{\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)}




est le demi-périmètre du quadrilatère,
a,
b,
c
et
d
sont les longueurs de ses côtés et

S

son aire.


Notes et références

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  1. a b c d e f et g

    « Étymologie des maths ».

  2. a et b

    Définitions lexicographiques et étymologiques de « quadrilatère » dans le
    Trésor de la langue française informatisé, sur le site du Center national de ressources textuelles et lexicales.

  3. a b c d e et f



    Emile Fourrry,
    Curiosités géométriques, 1910?
    (lire en ligne),
    p. 49

    .

Voir aussi

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Sur les autres projets Wikimedia :

Manufactures connexes

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  • Quadrilatère complet
  • Théorème de Pitot
  • Relation d’Euler dans le quadrilatère
  • Formule de Bretschneider donnant l’aire d’un quadrilatère non croisé

Lien externe

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La géomérie des quadrilatères par l’informatique
[PDF]



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Quelle Est La Nature D Un Quadrilatère

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrilat%C3%A8re#:~:text=En%20g%C3%A9om%C3%A9trie%20plane%2C%20un%20quadrilat%C3%A8re,volants%20sont%20des%20quadrilat%C3%A8res%20particuliers.

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