Formule Nombre de carrés dans un carré

  • Mathématiques

    28 mars 2017 à 16:06:18

    Bonjour,

    je suis lycéen en classe de première Due south et je pense avoir découvert une nouvelle formule permettant de calculer le nombre de carrés dans un ensemble de carrés. Exemple, le nombre de carré possible (carré de 1,2, 3, 4, …,n unité(southward) de largeur/longueur)sur un table d’échec de 64 cases.

    je 50’ai teste x fois, et elle fonctionne parfaitement. Dans united nations même temps, j’ai trouvé la formule permettant de calculer cette fois-ci le nombre de rectangles dans united nations ensemble de carrés.

    Je voulais savoir si il y avait moyen de la publier, d’en faire quelque chose.

    Merci d’avance

    P.S: je ne cherche ni à me montrer, ni à me vanter. Je dis ça auto c’est comme ça qu’un collégien (ayant redécouvert la formulen(n+
    ane
    )/2 permettant de calculer la somme des nombres de 1 à due north) southward’est fait accueillir sur ce forum de math.


    Edité par Optilium 28 mars 2017 à 16:xx:34

    • Mathématiques

      28 mars 2017 à 16:35:07

      hello.

      Tu veux dire, une formule pour les images demandant de dire le nombre de carré sur l’prototype genre :

      Il me semble qu’il sagit d’united nations simple problème de dénombrement, mais n’hésite pas à nous exposer ta solution ainsi que ton raisonnement. On sera ravi de te dire si celui -ci est correcte.

      hs: sinon, effectivement, les postes du blazon ” Hey, j’ai trouvé une super formules” sont souvent très mal vu sur le forum, pour la simple raison qu’il n’y a souvent rien de nouveau dans la découverte de la personne qui poste. Avoir réussi à conjecturer une formule, c’est bien. Croire que tu as fais une découverte mathématique qui mérite qu’on la protège, c’est arrogant…


      Edité par edouard22 28 mars 2017 à sixteen:40:38

        28 mars 2017 à 16:44:32

        Bonjour,

        Je ne suis pas certain d’avoir bien compris ce que tu cherches à calculer… Tu veux calculer le nombre de carrés possibles que fifty’on peut dessiner sur un échiquier, donc la somme : \(\displaystyle \sum_{i=one}^northward i^ii = i^2+2^2+3^2+\ldots+north^ii\). C’est bien ça ?

        Elle vaut \(\dfrac{(2n+one)(n+1)n}6\) si c’est ce que tu veux vérifier.

        EDIT: coquille corrigée


        Edité par Me Capello 28 mars 2017 à 16:51:58

        • Mathématiques

          28 mars 2017 à 20:49:32

          Il me semble que ce n’est pas exactement ce qu’il veut signifier. Je crois que l’idée est de compter combien de carré au total peuvent être inclus dans united nations grand carré de côté \(due north\). Il a donc sûrement pondéré les \(i^2\) avec le nombre de carré possible de côté \(i\) qui peuvent être inclus dans le 1000 carré pour aboutir à une somme à calculer en fonction de \(due north\).

          • Mathématiques

            28 mars 2017 à 21:08:10

            Chacun des \(i^2\) n’est pas une pondération ; c’est le nombre de carrés de côté \(n+ane-i\)… Il y a en effet \(i\) carré de côté \(northward\), \(2^2=iv\) carrés de côté \(north-ane\), \(3^two=9\) carrés de côté \(n-2\), etc., jusqu’à \(n^2\) carrés de côté \(1\).

            • Mathématiques

              28 mars 2017 à 21:16:24

              Voici la formule (que j’ai du faire sur photoshop)

              l est le nombre de carreaux de largeur

              h est le nombre de carreaux de hauteur

               Prenons le dessin de Edouard22. Il a un carre de 4×4 carreaux.

              Il y a donc 4×4 soit sixteen carres de ane unité de coté. Mais il y a aussi 3×3 = 9 carrés de two unité de coté, puis 2×2 soit iv carrés de 3×3 unités de coté. Enfin, il y a 1×1 carré soit 1, de 4 unités de coté. Ainsi, le nombre de carrés diminuent en même temps que le nombre d’unité. On a donc “a” qui s’incrémente de 1 jusqu’à “l” (le nombre de carré de longueur.). On a donc le “a” de la formule a.(h-fifty+a), le “a” qui désigne le nombre d’unité d’un coté du carré.

              Popular:   Le Site Web Théquitable.com a Subi Un Piratage Informatique. Pix

              Globalement le calcul a faire est: 4×4 + 3×3 + 2×2 + 1×1 = 30

              Dans notre calcul a.(h-l+a), “h-l” south’annule ( 4 – 4 = 0) car notre figure de départ (d’Edourd22) est un carré de 4×4. Ma formule s’applique pour les rectangle composé de carrés.

              Je ne détaillerai pas comment j’ai trouver (h-fifty+a), mais globalement, il permet de trouver le deuxième chiffre de chaque produit (là où j’ai marqué “globalement le calcul à faire est 4×4 + 3×3 + …”)

              J’espère avoir été assez clair. Je reconnais que je m’exprime mal.


              Edité par Optilium 28 mars 2017 à 21:41:51

              • Mathématiques

                28 mars 2017 à 22:56:58

                Dans ta formule, tu pars du principe que l<= h, c’est ça ? Sur quelques tests, la formule fonctionne.

                Ce qui serait intéressant, ce serait ii choses :

                i. trouver une formule ‘immédiate’ : Si l = chiliad, je n’ai pas envie d’additionner 1000 nombres . Ta formule peut s’écrire directement … un truc du genre h*(fifty+i)*(l+h+1) / 6  (ce northward’est pas probablement pas ça, j’ai mis un truc plus ou moins au hasard)

                two. Plus intéressant. Ici, tu as vérifié sur une dizaine de couples (l,h) que la formule marche. Mais tu n’as pas vérifié ni prouvé cascade l= 10000 et h = 20000. ou pour north’importe quel grand rectangle.

                Mais ça, si ta formule est correcte, ça doit pouvoir se démontrer. Et le mécanisme qui vient à fifty’esprit, il s’appelle “démonstration par récurrence”. Là, ça commencerait à prendre tournure.

                Pour united nations carré, c’est united nations exercice classique, ça a été fait des milliers de fois. Pour un rectangle, c’est plus original.

                • Mathématiques

                  28 mars 2017 à 23:14:38

                  D’après Wolfram alpha, ( j’avais la flemme de calculer à la main), la somme vaut : \[ \frac{  l  *  (i + l) * (1 + 3 h – l) }{6}  \] Cela semble juste puisque l’on retrouve la somme des carrés lorsque l=h. Il faut maintenant montrer que cela corresponds bien au nombre de carré contenu dans le rectangle
                  :p

                  Un petit graphe qui montre l’allure de la fonction  :

                  Popular:   Combien De Pommes Pour Faire Un Litre De Jus

                   ( en orange : lorsque h=l, en bleue dans le cas général )

                  hs : tu étais pas très loin de la bonne formule tbc92
                  :p


                  Edité par edouard22 28 mars 2017 à 23:47:47

                  • Mathématiques

                    29 mars 2017 à 10:38:19

                    En relisant le message initial, je 1000’aperçois qu’il était question de trouver le nombre full de rectangles dans united nations carré, ce qui est différent de ce qui a été calculé jusqu’ici. On pourrait en fait généraliser la formule au nombre de rectangles contenus dans un rectangle de dimensions m×n.

                    \(\displaystyle \sum_{i=0}^grand\sum_{j=0}^n ij = \frac{mn(m+1)(n+1)}{4}\)

                    • Mathématiques

                      29 mars 2017 à 14:28:12

                      @Edouard22 : je connaissais le résultat : nombre de carrés dans un carré. Pour le nombre de carrés dans un rectangle, la formule était forcément voisine, et en particulier, dans le cas 50=h, la formule devait forcément donner h*(h+1)*(2*h+1)/6.  Avec cette indication, j’étais à peu près assuré de tomber pas trop loin de la vraie formule.

                      • Mathématiques

                        29 mars 2017 à 16:50:19

                        Oui la formule pour calculer le nombre de rectangle possible dans un ensemble de carré est différente. la voici:

                        Je suppose que l<h. Pour éclaircir les choses, la première formule permet de déterminer le nb de

                        carrés
                        dans united nations rectangle/carré composé de carrés.


                        La seconde formule permet de déterminer le


                        nb de rectangles possible dans un carré/rectangle composé de carrés.


                        Edité par Optilium 29 mars 2017 à sixteen:55:43

                        Formule Nombre de carrés dans un carré

                        × Après avoir cliqué sur “Répondre” vous serez invité à vous connecter pour que votre message soit publié.

                        × Attention, ce sujet est très ancien. Le déterrer northward’est pas forcément approprié. Nous te conseillons de créer united nations nouveau sujet pour poser ta question.