Comment Savoir Si Un Nombre Est Divisible Par 11

Comment Savoir Si Un Nombre Est Divisible Par 11

Ceci est une
liste de critères de divisibilité
pour des nombres écrits en base of operations décimale, premiers ou puissances de nombre premier, inférieurs à 100.

Ces critères sont exposés sans démonstration.
Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d’établir ces critères, voir fifty’article « Critère de divisibilité ».

Pour la divisibilité par united nations nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers
n = p
1

1000
1
pr
kr

, il suffit d’appliquer la règle générale : united nations nombre est divisible par
n
si et seulement s’il est divisible par chacun des
pi
ki

. Par exemple : un nombre est divisible par 12 si et seulement s’il est divisible par 3 et par 4.

Dans tout cet article, un entier naturel de
n
+ 1 chiffres est représenté par

an…a
one
a

, où
a

est le chiffre des unités,
a
ane
des dizaines,
a
2
des centaines,etc.


Puissances de ii, 5 et 10

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Tout nombre entier est divisible par i.


Critère de divisibilité par 2
n



[modifier
|
modifier le code]

Un nombre est divisible par two
n

si et seulement si ses
northward
derniers chiffres forment un nombre divisible par two
northward
.

Exemples
United nations nombre est divisible par 16 = 2iv
si et seulement si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.
Un nombre est divisible par 32 = 2v
si et seulement si le nombre formé par ses five derniers chiffres est divisible par 32. Par exemple : 87 753 216 864 est divisible par 32 car sixteen 864 est divisible par 32.


Critère de divisibilité par v
northward



[modifier
|
modifier le code]

Un nombre est divisible par 5
north

si et seulement si ses
northward
derniers chiffres forment un nombre divisible par five
northward
.

Exemples
Un nombre est divisible par 25 = v2
si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25, c’est-à-dire si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75. Par exemple : 258 975 est divisible par 25 automobile il se termine par 75.
257 543
625

est divisible par 53
= 125 car 625 est divisible par 125.


Critère de divisibilité par 10
northward



[modifier
|
modifier le code]

Un nombre est divisible par x
n

si et seulement si ses
northward
derniers chiffres sont égaux à 0.

Exemple
652 500 000 est divisible par 105
car ses 5 derniers chiffres sont des 0.


Entiers inférieurs à ten

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Divisibilité par : Énoncé du critère : Exemple :
2 Un nombre est pair, c’est-à-dire divisible par ii = 2one, si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, iv, 6 ou 8.

168 est pair automobile il se termine par 8 qui est pair.

3 Un nombre est divisible par iii si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. (Par récurrence, cela implique que son résidu est iii, half-dozen, ou 9.) 168 est divisible par three car one + 6 + 8 = 15, 1 + five = 6 et 6 est divisible par 3.
4 Un nombre est divisible par 4 = twoii
si et seulement si iia
1
+
a

est divisible par iv.
ii 548 est divisible par 4 car two × 4 + 8 = 16 qui est divisible par iv.
5 Un nombre est divisible par 5 = 5ane
si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
235 est divisible par 5 car il se termine par 5.
half-dozen Un nombre est divisible par 6 si et seulement s’il est divisible par 2 et par 3. 168 est divisible par half dozen, car il est pair et divisible par 3.
7
an…a
1
a


est divisible par seven si et seulement si

anorthward…a
1

– 2a

fifty’est (pour d’autres critères, voir section suivante).
182 est divisible par 7 car 18 – 2 × ii = xiv 50’est.
viii United nations nombre est divisible par 8 = two3
si et seulement si 4a
2
+ 2a
one
+
a

est divisible par 8.
636 136 est divisible par 8 automobile iv × one + 2 × 3 + 6 = xvi qui est divisible par viii.
9 United nations nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 423 est divisible par 9 automobile 4 + 2 + 3 = 9 l’est.
10 United nations nombre est divisible par 10 = 10i
si et seulement si son chiffre des unités est 0.
270 est divisible par 10 car il se termine par 0.


Critères de divisibilité par 7

[modifier
|
modifier le code]


Lemmes de divisibilité par 7

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Première méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 56 (= vii × 8). Le nombre est divisible par vii si et seulement si le résultat final l’est.

Exemple
17 381 est divisible par seven car
1738 + 5 × one = 1743,
174 + v × 3 = 189,
18 + five × 9 = 63 et
6 + five × 3 = 21 = 7 × 3.

Deuxième méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités fifty’est. Si cette différence est négative, on peut la remplacer par sa valeur absolue. En répétant cette transformation jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 14, le nombre de départ est divisible par 7 si et seulement si le résultat concluding est 0 ou 7.

Exemple
17 381 est divisible par 7 car
1738 – two × ane = 1736,
173 – 2 × 6 = 161,
16 – ii × i = 14 et
|1 – 2 × 4| = 7.


Critère cascade united nations grand nombre

[modifier
|
modifier le code]

Une méthode, basée seulement sur le fait que 103
est congru à –one modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de iii chiffres en partant des unités et d’insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l’opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par 7 si et seulement si le nombre de départ l’était.

Exemple
Soit le nombre 5 527 579 818 992.
On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :
5 | 527 | 579 | 818 | 992.
On intercale alternativement des – et des + :
5 – 527 + 579 – 818 + 992.
On effectue l’opération ainsi écrite :
five – 527 + 579 – 818 + 992 = 231.
On regarde si 231 est divisible à fifty’adjutant du lemme de divisibilité par 7 :
23 + 5 × 1 = 28 est divisible par 7 donc five 527 579 818 992 fifty’est.

Comme 1001 est le produit de 7, 11 et thirteen, la même méthode s’applique pour 11 et 13.


Méthode de Toja

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Cette méthode est basée sur le fait que 10iii
est congru à –1 modulo 7, dont on déduit que








s
i



x
=

100

m



b

m


+



+

100

2



b

2


+
100

b

1


+

b







e
t



y
=

ten

k



b








10

chiliad



1



b

1


+

ten

one thousand



ii



b

2





+
(



1

)

m



b

m




{\displaystyle {\rm {si}}\quad x=100^{m}b_{grand}+\ldots +100^{2}b_{2}+100b_{i}+b_{0}\quad {\rm {et}}\quad y=10^{m}b_{0}-ten^{m-1}b_{1}+x^{m-2}b_{2}\ldots +(-i)^{m}b_{m}}












a
l
o
r
due south




x

m


x



y


(
modernistic

seven
)



{\displaystyle {\rm {alors}}\quad ten^{m}x\equiv y{\pmod {7}}}




donc
ten
est divisible par seven si et seulement si
y
l’est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque
bi

par n’importe quel entier qui lui est congru modulo 7. Le principe
[1]

est donc de découper le nombre
ten
par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de two chiffres et le multiple de 7 le plus proche (alternativement par excès et par défaut).

Exemple
Soit le nombre five 527 579 818 992.
On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :
v|52|75|79|81|89|92.

  • À partir de la droite, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 91 : distance 92 – 91 = 1.
  • Pour la deuxième paire, le multiple de vii le plus proche par excès est 91 : altitude 91 – 89 = two.
  • Pour la troisième paire, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 77 : distance 81 – 77 = 4
  • Cascade la quatrième paire, distance : 84 – 79 = five,etc.
Le nombre de départ est multiple de 7 si et seulement si
1|two|4|five|five|4|5
est multiple de 7 (les différents « restes » sont écrits dans 50’ordre inverse).
On trouve de même que la divisibilité par 7 de i 245 545 équivaut à celle de 3 136, puis de 14, donc 5 527 579 818 992 est divisible par 7.


Méthode rapide

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Comme dans le calcul du nombre modulo 7 par la méthode de Toja, on va regrouper les chiffres par groupe de ii, en partant de la droite. Ici on va utiliser le fait que 100 vaut 2 modulo 7.

La première étape, valable d’ailleurs pour toutes les méthodes, consiste à remplacer tous les chiffres par leur valeur modulo seven. Autrement dit à remplacer le 7 par 0, le 8 par ane, le 9 par 2.

Soit le nombre 5 527 579 818 992.
On le remplace par 5 520 502 111 222.

Dans la deuxième étape on regroupe les chiffres par 2 pour créer des nombres de 0 à 66.

Popular:   Comment Faire Un Insecte en Art Plastique

5|52|05|02|11|12|22.

On les calcule modulo 7

5|3|5|ii|four|five|1.

C’est fifty’écriture du nombre base 2, avec des chiffres de 0 à 6. On va utiliser la méthode de Horner : on dépile le chiffre le plus à gauche que l’on ajoute au nombre en cours (0 au départ) et on multiplie par 2.





v



2
+
three



three
+
3



6


{\displaystyle v\cdot two+3\rightarrow three+3\rightarrow half-dozen}







half-dozen



2
+
5



5
+
5



x



three


{\displaystyle 6\cdot 2+5\rightarrow 5+5\rightarrow ten\rightarrow three}







3



2
+
2



8



1


{\displaystyle iii\cdot 2+two\rightarrow 8\rightarrow 1}







1



2
+
4



half-dozen


{\displaystyle 1\cdot 2+4\rightarrow half dozen}







half-dozen



2
+
five



5
+
5



10



3


{\displaystyle half dozen\cdot 2+5\rightarrow v+5\rightarrow x\rightarrow iii}







three



ii
+
1



7






{\displaystyle 3\cdot 2+one\rightarrow seven\rightarrow 0}



Chaque ligne de calcul se fait aisément de tête, et chaque résultat intermédiaire peut être inscrit sur une seconde ligne :

five|3|5|2|iv|5|1
5|6|3|one|half dozen|3|0

On obtient 0, le nombre est divisible par 7.


Utilisation d’un diagramme

[modifier
|
modifier le code]

Cette technique
[2]

due south’appuie sur l’écriture du nombre en base 10 et sur les congruences modulo vii. L’utilisation d’un diagramme est proposée en 2009 par David Wilson
[3]

,

[4]
. Sur un cercle, on dispose tous les nombres de 0 à half-dozen, c’est-à-dire tous les restes possibles modulo 7. On relie ensuite par une flèche chaque reste
r
avec le reste modulo seven de
r
×x.

Le diagramme s’utilize alors de la manière suivante : cascade l’entier

anorthward…a
one
a

, égal à
(…((an

× 10 +
a

n–1
) × 10 +
a

n–2
) × ten + …) × 10 +
a

,

  • on se place sur la case 0 et l’on se déplace sur le cercle de
    an

    cases. On obtient ainsi le reste de
    an

    modulo 7 ;
  • on emprunte alors la flèche qui role de la case où fifty’on se trouve et, à partir du point d’arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de
    a

    n–1

    cases. On obtient ainsi le reste de
    an

    × 10 +
    a

    n–1

    modulo 7 ;
  • on recommence alors le processus (emprunt d’une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu’à
    a
    . On obtient alors le reste modulo 7 de
    (…((an

    × x +
    a

    northward–1
    ) × 10 +
    a

    northward–two
    ) × 10 + …) × 10 +
    a

    .

Le nombre est divisible par seven si et seulement si la case d’arrivée est la case 0.

Diagramme de divisibilité par 7.

Exemple
Pour le nombre 17381.

  • On passe de 0 à 1.
  • On emprunte la flèche qui mène de 1 à iii et fifty’on se déplace de seven cases (i. east. on reste sur place). On se trouve en 3.
  • On emprunte la flèche qui mène de 3 à 2 et l’on se déplace de 3 cases. On se trouve en 5.
  • On emprunte la flèche qui mène de 5 à 1 et l’on se déplace de 8 cases (i. e. on se déplace d’une case). On se trouve en two.
  • On emprunte la flèche qui mène de 2 à 6 et l’on se déplace d’une instance. On se trouve en 0. Le nombre est bien divisible par 7.

Remarque : cette méthode peut se généraliser à toute autre divisibilité par
d
et à toute autre base
b
en construisant le diagramme adapté (les nombres de 0 à
d
– 1 sur le cercle, des flèches reliant
r
au reste modulo
d
de
r
×
b).


Critère de divisibilité par eleven

[modifier
|
modifier le code]


Première méthode

[modifier
|
modifier le code]

Pour déterminer si un nombre
N
est divisible par eleven :

  • on calcule la somme
    A
    des chiffres en position impaire ;
  • on calcule la somme
    B
    des chiffres en position paire ;

N
est divisible par 11 si et seulement si la différence
A – B
(ou
B – A) est divisible par xi.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Exemple

[modifier
|
modifier le code]

Considérons le nombre 19 382.

A
= 1 + 3 + 2 = 6
B
= nine + 8 = 17
B – A
= 17 – half-dozen = eleven est divisible par 11 donc nineteen 382 l’est aussi.

On peut également effectuer le calcul : one – 9 + 3 – 8 + 2 = –11.


« Mini-critère »

[modifier
|
modifier le code]

Un nombre de trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu (a
2
+
a

=
a
1) ou à 11 plus le chiffre du milieu (a
2
+
a

= 11 +
a
1).

Exemples
374 est divisible par 11 parce que 3 + 4 = 7. Vérification : 374 = 11 × 34.
825 est divisible par 11 parce que 8 + 5 = eleven + 2. Vérification : 825 = 11 × 75.


Deuxième méthode

[modifier
|
modifier le code]

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et l’on effectue 50’opération obtenue. Le résultat est divisible par 11 si et seulement si le nombre de départ l’était.

Exemple
Reprenons l’exemple précédent 19 382 ; on obtient :
1 + 93 + 82 = 176.
Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :
one + 76 = 77.
77 est divisible par 11 donc xix 382 fifty’est aussi.


Troisième méthode

[modifier
|
modifier le code]

Un nombre est divisible par eleven si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par 11.

Exemples

[modifier
|
modifier le code]

3432 est divisible par xi car 343-2 = 341, 34-1 = 33 et 33 est divisible par 11.

73108 n’est pas divisible par 11 car 7310 – viii = 7302, 730-ii = 728, 72 – 8 = 64 et 64 n’est pas un multiple de 11.

Démonstration

Soit n un entier naturel alors n southward’écrit de manière unique n = 10 a + b où a est le nombre de dizaine et b le chiffre des unités.

n = 11a + b – a et donc n congru à 0 modulo 11 est équivalent à b – a congru à 0 modulo 11.


Critère de divisibilité par 13

[modifier
|
modifier le code]


Le critère de divisibilité par 13

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 13 si et seulement si

adue north…a
1

+ 4a

l’est. Pour voir si united nations nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × thirteen). Le nombre de départ est divisible par 13 si et seulement si le résultat final est 13, 26 ou 39.

Exemples
  • 312 est divisible par thirteen automobile 31 + 4 × 2 = 39.
  • 1 664 est divisible par xiii car 166 + 4 × 4 = 182 et 18 + 4 × 2 = 26.


Critère pour un grand nombre

[modifier
|
modifier le code]

Pour savoir si un grand nombre est divisible par 13, il suffit, puisque x3
est congru à –1 modulo 13 comme modulo 7, d’appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de iii chiffres en partant des unités et insérer alternativement des – et des + entre les tranches.

On effectue 50’opération ainsi écrite et le résultat est divisible par thirteen si et seulement si le grand nombre considéré 50’était.

Exemple
Soit le nombre 1 633 123 612 311 854.
On le sépare par tranches de trois à partir des unités :
1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.
On intercale alternativement des – et des + :
1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854.
On effectue l’opération ainsi écrite :
1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854 = –1 664.
Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1 664 et continuer.
D’après l’exemple précédent, 1 664 est divisible par thirteen donc 1 633 123 612 311 854 l’est aussi.


Critère de divisibilité par 17

[modifier
|
modifier le code]

Un nombre

an…a
1
a


est divisible par 17 si et seulement si

anorthward…a
1

– fivea

(ou sa valeur absolue) l’est. Pour voir si un nombre est divisible par 17, il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 51
(= 3 × 17).
Le nombre de départ est divisible par 17 si et seulement si le résultat last est 0, 17 ou 34.

Exemples
  • 3 723 est divisible par 17 auto 372 – v × 3 = 357 et 35 – 5 × 7 = 0.
  • 5 933 est divisible par 17 car 593 – 5 × 3 = 578 et 57 – v × viii = 17.


Critère de divisibilité par 19

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 19 si et seulement si

anorth…a
1

+ 2a

l’est. Cascade voir si un nombre est divisible par 19, il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 38 (= 2 × 19). Le nombre de départ est divisible par 19 si et seulement si le résultat last est 19.

Exemple
vi 859 est divisible par 19 car 685 + ii × 9 = 703, 70 + 2 × 3 = 76 et 7 + ii × 6 = 19.


Critère de divisibilité par 21

[modifier
|
modifier le lawmaking]


Critère immédiat

[modifier
|
modifier le code]

Un nombre est divisible par 21 si et seulement s’il est divisible par 7 et par three.


Lemme de divisibilité par 21

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Le nombre

anorth…a
1
a


est divisible par 21 si et seulement si

anorthward…a
ane

– 2a

(ou sa valeur absolue) l’est. Cette transformation est la même que la première indiquée cascade la divisibilité par 7 (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Cascade voir si un nombre est divisible par 21, il suffit de la répéter jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 21. Le nombre de départ est divisible par 21 si et seulement si le résultat last est 0.

Exemple
5 271 est divisible par 21 auto
527 – 2 × 1 = 5 25,
52 – two × 5 = 42 et
four – 2 × 2 = 0.


Critère cascade united nations grand nombre

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de half-dozen chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10
n

± 1 » ci-dessous).


Critère de divisibilité par 23

[modifier
|
modifier le lawmaking]


Première méthode

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Le nombre

anorthward…a
ane
a


est divisible par 23 si et seulement si

an…a
one

+ sevena

50’est. Cascade voir si un nombre est divisible par 23, il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 92 (= four × 23). Le nombre de départ est divisible par 23 si et seulement si le résultat final est 23, 46 ou 69.

Exemple
3 151 est divisible par 23 car 315 + seven × 1 = 322 et 32 + 7 × 2 = 46.


Deuxième méthode

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

adue north…a
1
a


est divisible par 23 si et seulement si

an…a
ii

+ three
a
1
a


l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 322 (= 23 × xiv). Le nombre est divisible par 23 si et seulement si le résultat final l’est.

Exemple
Reprenons l’exemple précédent : 3 151 est divisible par 23 auto 31 + three × 51 = 184 et 184 = viii × 23.


Critère de divisibilité par 27

[modifier
|
modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 27, on le sépare par tranches de three chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l’opération obtenue. Le résultat est divisible par 27 si et seulement si le nombre considéré au départ 50’était.

Exemple
Soit le nombre 68 748 098 828 632 988 661.
On effectue l’opération :
68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4 023.
Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer :
4 + 023 = 27 qui est divisible par 27, donc 68 748 098 828 632 988 661 fifty’est aussi.


Critère de divisibilité par 29

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 29 si et seulement si

an…a
one

+ 3a

50’est. Pour voir si un nombre est divisible par 29 il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 58 (= two × 29). Le nombre de départ est divisible par 29 si et seulement si le résultat final est 29.

Exemple
75 168 est divisible par 29 motorcar
7 516 + 3 × 8 = 7 540,
754 + three × 0 = 754,
75 + three × 4 = 87 et
8 + 3 × 7 = 29.


Critère de divisibilité par 31

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

adue north…a
1
a


est divisible par 31 si et seulement si

anorthward…a
1

– 3a

(ou sa valeur absolue) l’est. Cascade voir si un nombre est divisible par 31, il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 31. Le nombre de départ est divisible par 31 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple
xv 996 est divisible par 31 auto
one 599 – three × vi = 1 581,
158 – three × 1 = 155 et
xv – 3 × 5 = 0.


Critère de divisibilité par 37

[modifier
|
modifier le code]

Même méthode que pour 27 (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10
north

± 1 » ci-dessous).

Si le nombre est un nombre à trois chiffres
abc, on retranche le plus petit des chiffres pour faire apparaître un ou plusieurs zéros. Si ce nombre contient deux zéros, le nombre de départ n’est pas divisible par 37; si ce nombre vaut 0, le nombre de départ est divisible par 37. Sinon, ce nombre contient un seul zéro, que l’on enlève pour obtenir un nombre à ii chiffres. Si le 0 était en position centrale, il faut cependant retourner ce nombre. Le nombre de départ était divisible par 37 si et seulement si le nombre à deux chiffres l’est (et vaut donc 37 ou 74).

Exemple
925 est divisible par 37 motorcar
le plus petit chiffre est 2, on le retranche à chaque chiffre :
925 – 222 = 703, le 0 est central, on retourne le nombre
on obtient 307 et on supprime le 0
le résultat 37 est divisible par 37.

On peut aussi utiliser le critère général de divisibilité : le nombre

an…a
1
a


est divisible par 37 si et seulement si

an…a
1

-11a

l’est. Pour voir si united nations nombre est divisible par 37, il suffit de répéter cette transformation. Le nombre de départ est divisible par 37 si et seulement si le reste est un multiple de 37

Exemple
19 388 est divisible par 37 car
1938-eight×eleven=1850
185-0×11=185 = 37×5


Critère de divisibilité par 39

[modifier
|
modifier le code]


Critère immédiat

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Un nombre est divisible par 39 si et seulement s’il est divisible par 13 et par 3.


Lemme de divisibilité par 39

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

an…a
i
a


est divisible par 39 si et seulement si

adue north…a
1

+ iva

l’est. Cette transformation est la même que celle cascade la divisibilité par 13. Pour voir si united nations nombre est divisible par 39, il suffit de la répéter jusqu’à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 78 (= two × 39). Le nombre de départ est divisible par 39 si et seulement si le résultat concluding est 39.

Exemple
four 992 est divisible par 39 machine
499 + iv × 2 = 507,
50 + 4 × seven = 78 et
vii + 4 × viii = 39


Critère pour united nations grand nombre

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Même méthode que pour 27 mais par tranches de half-dozen chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par united nations facteur de x
n

± 1 » ci-dessous).


Critère de divisibilité par 41

[modifier
|
modifier le code]


Lemme de divisibilité par 41

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 41 si et seulement si

an…a
one

– 4a

(ou sa valeur absolue) l’est. Pour voir si united nations nombre est divisible par 41, il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 41. Le nombre de départ est divisible par 41 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple
8 036 est divisible par 41 motorcar
803 – four × half-dozen = 779,
77 – 4 × 9 = 41 et
4 – 4 × one = 0.


Critère cascade un grand nombre

[modifier
|
modifier le code]

Même méthode que cascade 27 mais par tranches de five chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10
due north

± ane » ci-dessous).


Critère de divisibilité par 43

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 43 si et seulement si

an…a
2

– 3
a
1
a


(ou sa valeur absolue) l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 215 (= 43 × five). Le nombre est divisible par 43 si et seulement si le résultat final l’est.

Exemple
173 161 est divisible par 43 car 1731 – iii × 61 = 1 548 et |fifteen – 48 × iii| = 129 = 43 × iii.


Critère de divisibilité par 47

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 47 si et seulement si

anorth…a
ii

+ 8
a
ane
a


l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 846 (= 47 × 18). Le nombre est divisible par 47 si et seulement si le résultat final fifty’est.

Exemple
143 597 n’est pas divisible par 47 automobile 1 435 + 8 × 97 = 2 211 et 22 + 8 × 11 = 110 = 2 × 47 + 16.


Critère de divisibilité par 49

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

adue north…a
1
a


est divisible par 49 si et seulement si la somme

an…a
1

+ 5a

l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 98 (= 2 × 49). Le nombre est divisible par 49 si et seulement si le résultat concluding est 49.

Exemple

478515625 est divisible par 49 car

47851562 + 5 × 5 = 47851587,

4785158 + 5 × 7 = 4785193,

478519 + v × iii = 478534,

47853 + v × iv = 47873,

4787 + 5 × three = 4802,

480 + 5 × two = 490 et

49 + 5 × 0 = 49.


Critère de divisibilité par 53

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 53 si et seulement si

anorth…a
2

– nine
a
i
a


(ou sa valeur absolue) 50’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 800. On passe ensuite au second critère de divisibilité : le nombre

an…a
ane
a


est divisible par 53 si et seulement si

an…a
1

+16
a


l’est. Il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 212 (= 4 × 53). Le nombre de départ est divisible par 53 si et seulement si le résultat concluding est 53, 106 ou 159.

Exemple
132 023 est divisible par 53 motorcar i 320 – nine × 23 = ane 113 et |eleven – 9 × 13| = 106 = 2 × 53.


Critère de divisibilité par 59

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Le nombre

an…a
i
a


est divisible par 59 si et seulement si

anorthward…a
1

+ 6a

50’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 118 (= ii × 59). Le nombre est divisible par 59 si et seulement si le résultat final est 59.

Exemple
1 185 northward’est pas divisible par 59 car 118 + 6 × five = 148 et 14 + half dozen × eight = 62.


Critère de divisibilité par 61

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

anorthward…a
1
a


est divisible par 61 si est seulement si

an…a
ane

– half-dozena

(ou sa valeur absolue) l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 61. Le nombre est divisible par 61 si et seulement si résultat final est 0.

Exemple
5 623 north’est pas divisible par 61 automobile 562 – 6 × 3 = 544 et 54 – vi × four = 30.


Critère de divisibilité par 67

[modifier
|
modifier le code]

Un nombre

adue north…a
ane
a


est divisible par 67 si et seulement si

an…a
two

– ii
a
1
a


(ou sa valeur absolue) 50’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 134 (= 2 × 67). Le nombre est divisible par 67 si et seulement si le résultat terminal est 0 ou 67.

Exemple
135 541 est divisible par 67 car
1 355 – 41 × 2 = 1 273,
|12 – 73 × two| = 134 et
|one – 34 × 2| = 67.


Critère de divisibilité par 71

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 71 si et seulement si

an…a
ane

– 7a

l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 71. Le nombre est divisible par 71 si et seulement si le résultat concluding est 0.

Exemple : 27 253 n’est pas divisible par 71 car

2 725 – 7 × three = two 704,
270 – seven × 4 = 242 et
24 – 7 × 2 = 10.


Critère de divisibilité par 73

[modifier
|
modifier le lawmaking]

Même méthode que pour 13 mais par tranches de iv chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de ten
northward

± i » ci-dessous).


Critère de divisibilité par 79

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 79 si et seulement si

an…a
1

+ 8a

50’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 158 (= 2 × 79). Le nombre est divisible par 79 si et seulement si le résultat final est 79.

Exemple
21 804 est divisible par 79 car
2 180 + viii × 4 = 2 212,
221 + 8 × two = 237 et
23 + 8 × 7 = 79.


Critère de divisibilité par 83

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

an…a
1
a


est divisible par 83 si et seulement si

an…a
i

+ 25a

50’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 332 (= 83 × 4). Le nombre est divisible par 83 si et seulement si le résultat final est 83, 166 ou 249.

Exemple

11537 est divisible par 83 car 1153 + seven × 25 = 1328 et 132 + 8 × 25 = 332 et 33 + 2 × 25 = 83.


Critère de divisibilité par 89

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

anorthward…a
1
a


est divisible par 89 si et seulement si

an…a
ane

+ 9a

l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 178 (= 89 × 2). Le nombre est divisible par 89 si et seulement si le résultat final est 89.

Exemple : 7921 est divisible par 89 automobile 792 + 9 × 1 = 801 et 80 + 9 × i = 89.


Critère de divisibilité par 97

[modifier
|
modifier le code]

Le nombre

anorthward…a
i
a


est divisible par 97 si et seulement si |
an…a
1

– 29a
| l’est. On recommence jusqu’à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 291 (= 3 × 97). Le nombre est divisible par 97 si et seulement si le résultat final est 0, 97 ou 194.

Exemple

46 657 est divisible par 97 motorcar

4 665 – 29 × 7 = 4 462,
446 – 29 × 2 = 388 et
|38 – 29 × 8| = 194.


Méthode du ruban de Pascal

[modifier
|
modifier le code]

Cette méthode (voir fifty’article détaillé) permet de tester la divisibilité d’un nombre
N, généralement écrit en base dix, par n’importe quel entier
d. Le principe est de remplacer, dans le nombre
N = an
ten
n

+ … +
a
1ten +
a
, chaque puissance de x par son reste
r
dans la division euclidienne par
d
(on peut aussi prendre
r – d
au lieu de
r).

Exemples
  • Cascade
    d
    = 7, on peut remplacer i, 10, 100,etc.
    par ane, 3, 2, −1, −3, −2, 1, iii, 2, −1, −3, −2,etc.
    (suite périodique) : on dit qu’une clé de divisibilité par 7 en base dix est (1, 3, 2, −ane, −3, −2). Le nombre
    N
    =

    anorth…a
    1
    a


    est divisible par 7 si et seulement si le nombre suivant fifty’est :
    a

    + 3a
    1
    + iia
    2

    a
    iii
    − 3a
    iv
    − iia
    5
    +
    a
    6
    + threea
    7
    + 2a
    8

    a
    ix… =
    A
    + threeB
    + 2C, avec
    A = a


    a
    3
    +
    a
    6

    a
    nine…,
    B = a
    1

    a
    4
    +
    a
    seven

    a
    ten… et
    C = a
    2

    a
    v
    +
    a
    viii

    a
    eleven
  • Pour
    d
    = 13, une clé de divisibilité en base dix est (1, –iii, – 4, −1, 3, 4) donc

    an…a
    1
    a


    est divisible par 13 si et seulement si le nombre suivant fifty’est :
    a

    – threea
    1
    – iva
    ii

    a
    iii
    + threea
    4
    + 4a
    5
    +
    a
    6
    – 3a
    vii
    – 4a
    8

    a
    nine… =
    A
    – 3B
    – 4C, avec
    A = a


    a
    3
    +
    a
    half dozen

    a
    9…,
    B = a
    1

    a
    four
    +
    a
    seven

    a
    x… et
    C = a
    2

    a
    5
    +
    a
    viii

    a
    11


Critère de divisibilité par united nations facteur de 10
northward

± ane


[modifier
|
modifier le code]

Dans la méthode du ruban, cascade certains
d, la clé de divisibilité est plus simple lorsqu’on considère
Northward
comme écrit en base of operations 10
n

cascade un
n
bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base x
northward

sera (ane, −1) si
d
est united nations diviseur de 10
n

+ 1, et elle sera simplement (i) si
d
est united nations diviseur de 10
north

– 1. On en a vu des exemples pour la divisibilité par 11 (facteur de 101
+ 1 et de 102
– 1) et (pour un « grand » nombre) par seven ou thirteen (facteurs de 10three
+ ane) ou par 27 (facteur de ten3
– ane). En résumé :

  • Si
    d
    est un diviseur de ten
    n

    + 1, pour savoir si un thou nombre est divisible par
    d, il suffit de séparer ce nombre par tranches de
    n
    chiffres en partant des unités et d’insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l’opération ainsi écrite et le résultat est divisible par
    d
    si et seulement si le nombre considéré au départ l’était. On répète cette transformation autant que faire se peut.

    Exemples
Somme alternée de tranches
Divisibilité par eleven 101 vii 13 77 91 143 73 137 17 nineteen 133 23 121
Tranches de taille 1 ii iii 4 8 9 11
  • Si
    d
    est un diviseur de 10
    n

    – 1 (ce qui est vrai cascade n’importe quel
    n
    si
    d
    = 3 ou ix), même principe mais en due north’insérant que des + entre les tranches.

    Exemples
Somme simple de tranches
Divisibilité par 11 33 99 27 37 111 41 123 21 39 63 117 81 53 79 31
Tranches de taille 2 3 5 6 nine thirteen xv


Notes et références

[modifier
|
modifier le code]




  1. (en)
    Gustavo Gerald Toja Frachia,
    « Brief method for determining if a number is divisible by 7 »
    (version du 26 avril 2007 sur 50′Internet Archive)
    .


  2. Le principe sur un exemple est détaillé dans
    (en)
    Boris A. Kordemsky(en),
    The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations, Dover Publications, 2014 (1re

    éd. 1971),

    p. 140
    ,

    aperçu

    sur
    Google Livres.





  3. (en)
    David Wilson,
    «Divisibility by 7 is a Walk on a Graph », sur
    Tanya Khovanova’s Math Blog,

    (consulté le
    )


    .





  4. (en)
    David Wilson,
    «Divisibility past seven is a Walk on a Graph. Two », sur
    Tanya Khovanova’s Math Blog,

    (consulté le
    )


    .


  • icône décorative

    Arithmétique et théorie des nombres



Comment Savoir Si Un Nombre Est Divisible Par 11

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_crit%C3%A8res_de_divisibilit%C3%A9

Popular:   Combien D'orange Pour Un Litre De Jus

Ce site utilise des cookies pour améliorer la convivialité. Vous acceptez en utilisant le site Web plus loin.

Politique de confidentialité des cookies

Contact Us