Patron D Une Pyramide À Base Rectangulaire

Patron D Une Pyramide À Base Rectangulaire

René Descartes
GeoGebra
Descartes et les Mathématiques

L’espace en quatrième
avec GeoGebra 3D

Pyramide : volume, patron
– partition d’un cube en trois ou six pyramides
.

La géométrie dans l’espace en quatrième

    Pyramide : le cours

1. Coin de cube

ii. three pyramides dans un cube

three. half dozen pyramides dans un cube

iv. Pyramide équilatérale de base of operations carrée

five. Patrons de pyramides

6. Cône de révolution

Pyramide : le cours

Une pyramide est un solide composé :
• d’une base of operations polygonale,
• de faces latérales triangulaires, ayant united nations sommet
commun, le sommet de la pyramide.

figure Geogebra 3d - pyramide - copyright Patrice Debart 2014

Pyramide régulière

Définition
: la pyramide est régulière
– si la base est un polygone régulier
– et si la hauteur, perpendiculaire abaissée du
sommet sur la base, a son pied au center du
polygone de base of operations.

Pyramide au collège

Au collège, les pyramides étudiées auront une base
rectangulaire, souvent carrée, ou bien une base of operations
triangulaire ; dans ce dernier cas, le solide est
nommé tétraèdre.

Cas particuliers

Toutes les arêtes sont de même longueur. :

base triangulaire
: le tétraèdre régulier,

    •
base of operations carrée
: la pyramide équilatérale où les faces
latérales sont des triangles équilatéraux;
le triangle ACS dans le program diagonal est rectangle
isocèle.

Autre cas particulier de pyramide régulière de base of operations
carrée :
• le triangle ACS du programme diagonal est équilatéral.

GeoGebra
Figure 3D dans GeoGebraTube :
pyramide de base carrée

Voir
: tronc de pyramide

Dessiner une pyramide de base carrée.

Formule du volume d’une pyramide

Le volume V d’une pyramide (d’un tétraèdre ou d’un
cône de révolution) est donné par la formule :

V =1/3
×
aire de la base × hauteur

V =
1/3
× Sbase
×
hauteur,

où Southwardbase
est l’aire de la base et
hauteur
= Bone
(figure ci-dessus).

Démocrite (460-370 avant J.-C.) fut le premier à
formuler fifty’énoncé et Eudoxe (4e
siècle) le
premier à en trouver la démonstration.

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Volume d’une pyramide à base carrée

Si la base carrée ABCD a pour côté
a, Southwardbase
=
a
two.

Le book est alors :

V =
1/3
×
a
two
×
hauteur
=
1/3
×
a
two
× OS.

1. Coin de cube

On appelle «
coin de cube
» le tétraèdre trirectangle
BEGF formé par trois arêtes d’un cube concourantes
en united nations sommet F, et des diagonales des faces du cube
qui joignent les autres extrémités de ces arêtes.

geogebra 3d - triangle équilatéral comme section de cube - copyright Patrice Debart 2014

«
Effigy fil de fer
».

geogebra 3d - coin de cube dans un cube - copyright Patrice Debart 2014

En vert : «
coin de cube
».

«
Cube fortement tronqué
».

Geogebra 3d - cube fortement tronqué - copyright Patrice Debart 2014

En classe de quatrième, savoir visualiser le «
coin de
cube

» à partir de la «
figure fil de fer
» à gauche et
se représenter ci-dessus ; le «
cube fortement tronqué
»,
cube auquel on a enlevé un coin de cube.

GeoGebra
Figures 3D dans GeoGebraTube : coin de cube

– Money de cube dans united nations cube en fil de fer

– on y trouve les trois variantes : triangle équilatéral
formé par trois diagonales de faces du cube
cube moinsmoney de cube
 – cube fortement tronqué

Voir aussi
: « cube tronqué » aux huit sommets.

2. Trois pyramides inscrites dans united nations cube

Visualiser la partition d’un cube en three pyramides à
bases carrées, au full ayant donc le même volume.

Pour cela, on va partir du cube initial ABCDEFGH
définir les trois pyramides de même sommet E et
de bases respectives les trois faces ABCD ; BCGF
et HDCG du cube.

geogebra 3d - pyramide inscrite sur la base d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

geogebra 3d - pyramide inscrite sur la côté d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

geogebra 3d - pyramide inscrite sur la côté d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

geogebra 3d - 3 pyramides dans un cube - copyright Patrice Debart 2014

On vérifie que le volume de chaque pyramide est bien

V =
1/3
×
a
3
=
1/3
×
a
2
×
a
=
1/3
× Sbase
×
hauteur.

GeoGebra
Figures 3D dans GeoGebraTube :
trois pyramides inscrites dans united nations cube

3. Vi pyramides dans un cube

Partition du cube en 6 pyramides régulières de bases
carrées les faces du cube, de sommet le centre du cube.
La réunion des six pyramides a le même volume que le cube.

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geogebra 3d - pyramide sur la base d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

geogebra 3d - pyramide sur le côté d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

geogebra 3d - pyramide sur le côté d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

geogebra 3d - 3 pyramides dans un cube - copyright Patrice Debart 2014

Par symétrie on peut compléter ces trois pyramides
pour obtenir une partition du cube en six pyramides
de même volume.

On retrouve encore le book de la pyramide

5 =
1/6
×
a
3
=
1/3
×
a
2
×
1/2
a
=
1/3
× Sbase
×
hauteur.

GeoGebra
Figures 3D dans GeoGebraTube :
6 pyramides inscrites dans un cube,
diagonales d’un cube en fil de fer

iv. Pyramide régulière de base carrée

geogebra 3d - pyramide équilatérale de base carré - copyright Patrice Debart 2014

4.i. Dessiner une pyramide équilatérale de base carrée

SABCD est une pyramide régulière de nase carrée ABCD.
Elle est équilatérale si les quatre autres faces sont
des triangles équilatéraux.

Quel est 50’angle des arêtes (SA) et (SC) ?

Construction de la pyramide équilatérale

Construire un carré de côté
a. Ses diagonales [Ac] et
[BD] se coupent en O. La hauteur (d) est la droite
issue de H, perpendiculaire au programme ABC.
S est un des points d’intersection de la hauteur (d) et de
la sphère de centre A et de rayon
a.

AOS est un triangle rectangle isocèle d’hypoténuse
a
:
la hauteur And then est alors égale à
a
rac(2)/2.

Programme diagonal

geogebra 3d - pyramide équilatérale - copyright Patrice Debart 2014

Une vue de face up du triangle ACS dans le plan diagonal
permet de conjecturer que 50’angle ASC est droit.

En effet, si
a
est la longueur d’une des arêtes de la
pyramide, on remarque que ABC est united nations triangle
rectangle isocèle de petits côtés
a
et d’hypoténuse Air-conditioning.

Le triangle ASB a deux côtés de longueur
a
et un
troisième côté Ac.
Il est isométrique à ABC : ASB est rectangle en S.

GeoGebra
Effigy 3D dans GeoGebraTube :
pyramide de base carrée
cocher la example pyramide équilatérale

Pyramide équilatérale de base carrée.: deux fenêtres

geogebra 3d - pyramide réguliere - copyright Patrice Debart 2014

Core de gauche : program (ACS) dans la fenêtre graphique
(xOy) ; diagonale [AC] de la base sur (Ox), South sur (Oy)
axe vertical.

Triangle ACS, du programme diagonal, rectangle isocèle,
en vraie grandeur, dans la fenêtre graphique.

4.2. Triangle ACS, du program diagonal, équilatéral

geogebra 3d - pyramide réguliere - copyright Patrice Debart 2014

GeoGebra
Figure 3D dans GeoGebraTube :
f
Selon le triangle ACS du programme diagonal, cocher les cases :
• ou triangle équilatéral,
• Cocher la case triangle rectangle isocèle (ci-dessous).

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v. Technique GeoGebra 3D :

Patron d’un polyèdre

On obtient, parmi tous les patrons possibles, un patron
choisi par le logiciel à partir de la
confront principale
ayant
servi à sa construction.
Les autres faces southward’articulent autour de cette face.

five.1. Patron d’une pyramide de base carrée

geogebra 3d - pliage du patron d'une pyramide de base carré - copyright Patrice Debart 2014

geogebra 3d - patron d'une pyramide de base carrée - copyright Patrice Debart 2014

5.ii. Patron d’un tétraèdre régulier

Geogebra 3D - pliage du patron de tétraèdre- copyright Patrice Debart 2014

Patron d’une pyramide de base triangulaire

Geogebra 3D - patron de tétraèdre- copyright Patrice Debart 2014

GeoGebra
Figures 3D dans GeoGebraTube :
patron de pyramide de base carrée
tétraèdre de base un triangle équilatéral,
patron d’un tétraèdre

Le coefficient d’ouverture du patron est une variable
réelle
m, comprise entre 0 et 1 ;
– si elle est égale à 1 le patron est plan,
– si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le polyèdre.

6. Cône de révolution

Geogebra 3D - cone - copyright Patrice Debart 2014

Cascade ce cône, la base est un cercle de centres O et de rayon
r.
L’axe (OS) du cône est perpendiculaire au plan du cercle de base.

Volume du cône

Pour le cercle de rayon
r, l’aire de la base est πr
two
;
la longueur
h
de la hauteur [OS] est égale à la distance
du sommet à la base of operations.

Book = V
=
1/3
×
aire de la base
×
hauteur

V
=
1/3
×
A
base
×
h.
Volume
=
B
×
h
= πr
two
× So = πr
2
h.

Aire latérale du cône

Fifty’apothème, altitude du sommet au cercle,
est rac(r
ii
+
h
2).
Fifty’aire latérale d’un cône de révolution sans la base of operations :

r
rac(r
ii
+
h
two).

GeoGebra
Effigy 3D dans GeoGebraTube : cône de révolution

Table des matières

Icône GeoGebra
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Manner d’emploi GeoGebra 3D

GeoGebra 3D en sixième

Sections planes en 3east
: cube, pyramide

Tétraèdre

Icône GéoSpace
Pyramide octogonale

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Folio northo
85, adaptée à GeoGebra le xiii/10/2014
version cascade mobiles le ten/12/2015

Patron D Une Pyramide À Base Rectangulaire

Source: http://www.debart.fr/geogebra_3D/geogebra-3D-quatrieme.mobile.html

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