Produit D’un Nombre Par Lui Meme

Produit D’un Nombre Par Lui Meme

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On nomme
produit
de nombres entiers, réels, complexes ou autres le résultat de leur multiplication. Les éléments multipliés s’appellent les facteurs du produit. Fifty’expression d’un produit est aussi appelée « produit », par exemple l’écriture
3a

du triple du nombre
a
est un produit de deux facteurs, où le symbole de la multiplication est sous-entendu.

Fifty’ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n’ont pas d’importance ; ainsi, nulle permutation de termes ne modifie le résultat du produit. Ces propriétés sont nommées commutativité de la loi et associativité de la loi de multiplication.

Les multiplications d’objets comme les vecteurs et les matrices (produit matriciel, produit tensoriel, etc.) ne sont en revanche pas commutatifs.

Exemples

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Trois paquets de cinq

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Si
trois paquets
contiennent
chacun cinq friandises, alors au total ils contiennent
3 × v
friandises. Ce
produit
de
trois
par
cinq
est égal à une
somme
de
trois
termes égaux à
cinq. Et
trois fois cinq
font
quinze.





5

+

five

+

v

=

3
×


5

=

15.


{\displaystyle five\;+\;5\;+\;5\;=\;3\times 5\;=\;xv.}




Cinq virages à droite

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Dans l’expression française «une fraction
dune grandeur », la préposition «de » se traduit en mathématiques par united nations symbole de
multiplication. Ce symbole est sous-entendu dans le produit
f m
qui représente la fraction
f
de
la grandeur
g. Produit qui vaut
deux cinquièmes
de
trois cent soixante degrés
si

f
=


two
/
5



et

m
= 360°







2
5



×



360









=



4
10



×



360









=



,

4

×



360









=

four

×


36









=

144








.


{\displaystyle {\frac {two}{5}}\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,{\frac {four}{10}}\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,0{,}4\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,4\,\times 36\,^{\circ }\,=\,144\,^{\circ }.}



Imaginons un robot mobile, qui effectue des trajets rectilignes successifs de même longueur
d. Ces trajets partiels sont représentés en géométrie aeroplane par des segments égaux successifs. Supposons qu’entre deux trajets rectilignes, le robot à fifty’arrêt tourne à droite sur lui-même de
144°. Quand il a répété
cinq
fois la manœuvre suivante : avancer tout droit d’une longueur
d
puis tourner à droite sur lui‑même de
144°, il revient à son indicate de départ. Son parcours polygonal fermé est représenté par un pentagone régulier étoilé (symbole de Schläfli {5/two}), de périmètre
5d
). Pendant tout son trajet fermé, le robot tourne dans le sens horaire autour du centre du polygone régulier, d’united nations angle de
5 × 144° = 720° = 2 × 360°. Il effectue deux tours complets autour du center du pentagone étoilé.

Cas simples et notations

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Le principe de base of operations de la multiplication des nombres entiers naturels est de dénombrer les éléments d’une réunion de
n
ensembles disjoints deux à deux (n
est le
multiplicateur), quand chaque ensemble contient le même nombre
p
d’éléments (p
est le
multiplicande).

Vocabulaire

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Dans un produit de deux facteurs, le premier facteur est nommé par convention
multiplicande
et le second
multiplicateur. Inverser leurs valeurs ne change jamais le résultat, à la différence de 50’inversion du dividende et du diviseur dans une division.

multiplicande
×
multiplicateur

L’opérateur est le signe multiplication « × »
[1]
, un point « . » sur la ligne quand le séparateur décimal est la virgule
[réf. nécessaire]

et un signal opérateur « ⋅ » (médian)
[two]

lorsque le point sur la ligne sert déjà de séparateur décimal, comme dans la convention anglo-saxonne ; en programmation informatique, les langages utilisent en général 50’astérisque « * » (signe étoile). Il est omis quand il est présent sans ambigüité, par exemple dans une expression comme
3a.

Principe pour les nombres entiers

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Dans le cas des entiers naturels, la multiplication revient à faire des additions de nombres identiques. Quand on dit, par exemple, « cinq multiplié par sept », cela signifie que l’on répète sept fois united nations ensemble de cinq éléments. Ainsi :





5
×


7
=
5
+
5
+
5
+
five
+
v
+
5
+
v
=
35.


{\displaystyle five\times seven=5+five+5+five+5+5+5=35.}



Par ailleurs, parmi les différentes propriétés algébriques de la multiplication de nombres, la commutativité peut-être explicitée : l’ordre des facteurs due north’influe pas sur le résultat
[3]
 :





7
×


five
=
7
+
7
+
vii
+
7
+
7
=
35
=
v
×


7.


{\displaystyle 7\times five=7+7+7+seven+7=35=5\times 7.}



Ces expressions se lisent respectivement « cinq multiplié par sept » (ou « 7 fois 5 ») et « sept multiplié par cinq » (ou « v fois seven »).

Cette opération peut aussi se noter, pour des besoins techniques,

Le résultat peut être obtenu :

  • par consultation d’united nations répertoire de résultats connus, tel qu’une table de multiplication ;
  • par l’exécution d’un algorithme (de tête, à la main avec un musical instrument d’écriture, ou à l’aide d’un calculateur) :
    • fifty’algorithme le plus simpliste se résume en additions successives (fréquent pour les petits nombres, mais rapidement inutilisable),
    • pour des nombres plus grands mais encore de taille raisonnable, il existe des méthodes plus efficaces qui font partie du bagage culturel,
    • l’informatique moderne a suscité des techniques encore plus élaborées, certaines étant des objets de recherche.


Principe pour les nombres décimaux

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United nations nombre décimal est un nombre entier qui a été divisé par une puissance de dix (i — c’est alors un entier —, 10, 100, 1 000…). La distributivité de la multiplication sur la division permet de calculer les multiplications de nombres décimaux comme celle des nombres entiers :

  1. on ignore les virgules et 50’on multiplie les nombres comme si c’étaient des entiers ;
  2. le nombre de chiffres après la virgule du résultat last est la somme du nombre de chiffres après la virgule du multiplicande et du multiplicateur.

Par exemple pour calculer 5,iii × 0,21 :

  • on calcule 53 × 21, ce qui donne ane 113 ;
  • le multiplicande a un chiffre après la virgule, le multiplicateur en a deux, le résultat en a donc trois (i + 2) : le résultat final est i,113.


Généralisation

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Plus généralement, united nations produit est le résultat de la composition de deux éléments d’united nations ensemble pour une loi interne multiplicative. Lorsque des matrices ou des objets de divers autres anneaux sont multipliés, le produit dépend en général de fifty’ordre des facteurs ; en d’autres termes, la multiplication des matrices, et les lois de multiplication de ces autres anneaux, ne sont pas commutatives.

Des généralisations et des extensions du concept de produit existent en mathématiques :

  • le produit scalaire et le produit vectoriel sont des sortes de multiplications de vecteurs ;
  • le produit matriciel, la multiplication des matrices n’est pas commutative sauf sur des sous-ensembles triviaux;
  • le produit usuel de deux fonctions ;
  • les produits dans des anneaux ou dans des corps commutatifs (ou gauches) de toutes sortes.

Des multiplications respectant 50’invariance des normes (« la norme du produit de deux objets est égale au produit de leur norme ») n’ont pu être définies que pour quelques objets : les réels, les complexes, les quaternions et les octonions.


Produit indexé

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Le produit peut être noté ∏ (pi capitale)
[iv]

lorsque de nombreux facteurs indexés interviennent. Par exemple, si l’on considère une suite




(

u

n



)

due north




N





{\displaystyle (u_{n})_{northward\in \mathbb {N} }}



, alors :









i
=
1


Northward



u

i


=

u

i


×



u

2


×





×



u

N


.


{\displaystyle \prod _{i=1}^{Due north}u_{i}=u_{i}\times u_{two}\times \cdots \times u_{N}.}



Notes

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  1. Le signe multiplication peut southward’obtenir

    • en Unicode, par le caractère
      U+00D7 ;
    • en HTML, par l’entité
      ×
      ou
      × ;
    • en LaTeX, dans 50’environnement mathématiques ($…$
      ou
      \[…\]), par la commande
      \times.



  2. Le symbole « indicate opérateur » peut s’obtenir :

    • en Unicode, par le caractère
      U+22C5 ;
    • en HTML, par fifty’entité

      (scalar dot)
      ou
       ;
    • en LaTeX, par
      \textperiodcentered, et dans 50’environnement mathématiques ($…$
      ou
      \[…\]), par la commande
      \cdot.



  3. Cependant, le
    sens
    de 50’expression (d’un indicate de vue pratique) est légèrement différent : dans un cas on compte vii tas de 5 éléments, dans l’autre on compte 5 tas de seven éléments.



  4. Ce signe peut due south’obtenir

    • en HTML, par l’appel
       ;
    • en LaTeX, dans 50’environnement mathématiques ($…$
      ou
      \[…\]), par la commande
      \prod_{indice}^{exposant}.

Voir aussi

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  • Technique de multiplication
  • Produit scalaire
  • Produit vectoriel
  • Produit cartésien
  • Improver


  • icône décorative

    Portail des mathématiques



Produit D’un Nombre Par Lui Meme

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_%28math%C3%A9matiques%29

Popular:   Comment Mettre Une Note Sur 25 Sur 20

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