Coordonnées Du Centre Du Cercle Circonscrit D’un Triangle

Coordonnées Du Centre Du Cercle Circonscrit D’un Triangle

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Fifty’aire d’un triangle
est, en géométrie euclidienne, une mesure de la surface airplane déterminée par trois points et les segments joignant ces points. L’intérêt de l’aire d’united nations triangle provient du fait que tout polygone peut être scindé en triangles. Il existe plusieurs méthodes de calcul de cette aire, suivant ce qui est connu du triangle, la plus connue étant celle utilisant une hauteur
h
et la base of operations
b
associée :





S
=



b
×


h

2


.


{\displaystyle South={\frac {b\times h}{2}}.}



Une autre formule, dite formule de Héron, permet le calcul de fifty’aire connaissant les longueurs des trois côtés
a,
b
et
c
d’un triangle et donc aussi leur demi-somme
p :





South
=


p
(
p



a
)
(
p



b
)
(
p



c
)


.


{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}



Un triangle de côtés
a
et
b
formant un bending
γ
au sommet C.

Elle peut se déduire de la loi des sinus, l’aire du triangle étant déduite d’un angle et de ses côtés adjacents. Si les deux côtés adjacents au sommet C d’un triangle ont pour longueur
a
et
b
et si l’angle en C a cascade mesure
γ, alors l’aire est donnée par :





S
=


1
2


a
b
sin



γ


.


{\displaystyle S={\frac {i}{ii}}ab\sin \gamma .}




Calcul de fifty’aire

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À partir d’une hauteur

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Fifty’aire d’un triangle peut être calculée en le décomposant en deux triangles rectangles.

Si le triangle est rectangle, il est immédiat que son aire est






S
=




a
h

2



,


{\displaystyle Southward={\dfrac {ah}{2}},}





a
est la longueur d’un côté différent de l’hypoténuse et
h
la longueur de la hauteur consequence de ce côté. Si le triangle n’est pas rectangle, la relation reste vraie, auto le triangle se décompose en deux triangles rectangles (comme sur la figure).


Démonstration par la méthode du cisaillement

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À partir de la formule donnant l’aire d’un rectangle, Euclide démontre d’une office (proffer
XXXV
du premier livre des
Éléments) :
« Les parallélogrammes constitués sur une même base, et entre mêmes parallèles, sont égaux
[1]

entre eux. »

d’autre part (proposition
XLI) :
« Si un parallélogramme, et united nations triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera double du triangle. »


À partir des longueurs des trois côtés

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Pour une expression de l’aire d’united nations triangle dont les longueurs des côtés sont
a, b
et
c
et le
demi-périmètre




p
=




a
+
b
+
c

2





{\displaystyle p={\dfrac {a+b+c}{2}}}



, on peut utiliser la formule de Héron :






S
=



i
4





(
a
+
b
+
c
)
(



a
+
b
+
c
)
(
a



b
+
c
)
(
a
+
b



c
)


=


p
(
p



a
)
(
p



b
)
(
p



c
)


.


{\displaystyle South={\dfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}





À partir des coordonnées des sommets

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L’aire d’un triangle est calculée à partir d’un parallélogramme.

L’aire du parallélogramme défini par deux vecteurs






u







{\displaystyle {\overrightarrow {u}}}



,






v







{\displaystyle {\overrightarrow {v}}}




est la norme de leur produit vectoriel :







S

p


=





u










five








.


{\displaystyle S_{p}=\left\|{{\overrightarrow {u}}\wedge {\overrightarrow {v}}}\right\|.}




On peut calculer l’aire d’un triangle à partir de cette formule :






S
=



1
2









A
B












A
C









.


{\displaystyle S={\dfrac {ane}{2}}\left\|{{\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {Ac}}}\right\|.}




Un repère orthonormé étant donné, l’aire du triangle
ABC
peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.

Dans le programme, si les coordonnées de
A,
B
et
C
sont données par




A
(

x

A


,

y

A


)


{\displaystyle A(x_{A},y_{A})}



,




B
(

x

B


,

y

B


)


{\displaystyle B(x_{B},y_{B})}




et




C
(

x

C


,

y

C


)


{\displaystyle C(x_{C},y_{C})}



, alors l’aire
Due south
est la moitié de la valeur absolue du déterminant





Due south
=



ane
2




|

det


(




x

B






ten

A





x

C






ten

A







y

B






y

A





y

C






y

A





)



|

=



1
2




|

(

x

B






x

A


)
(

y

C






y

A


)



(

x

C






ten

A


)
(

y

B






y

A


)

|

.


{\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}&x_{C}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{C}-y_{A}\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})|.}



50’aire du triangle
ABC
peut aussi se calculer à partir de la formule





Due south
=



1
2




|

det


(




x

A





x

B





10

C







y

A





y

B





y

C






1


one


one



)



|

=



1
2





|



x

A



y

C






x

A



y

B


+

x

B



y

A






ten

B



y

C


+

x

C



y

B






10

C



y

A




|


.


{\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&one\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}.}



Cette méthode se généralise en trois dimensions. 50’aire du triangle
ABC





A
=
(

x

A


,

y

A


,

z

A


)


{\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}



,




B
=
(

ten

B


,

y

B


,

z

B


)


{\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}




et




C
=
(

x

C


,

y

C


,

z

C


)


{\displaystyle C=(x_{C},y_{C},z_{C})}




s’exprime comme





South
=


1
2






(

det


(




x

A





10

B





10

C







y

A





y

B





y

C






ane


1


1



)



)


2


+


(

det


(




y

A





y

B





y

C







z

A





z

B





z

C






1


1


1



)



)


2


+


(

det


(




z

A





z

B





z

C







x

A





x

B





x

C






ane


1


1



)



)


two




.


{\displaystyle Due south={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\cease{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\one&i&one\stop{pmatrix}}\right)^{ii}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&ane&i\end{pmatrix}}\right)^{ii}}}.}



Notes

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  • Cet commodity est partiellement ou en totalité issu de 50’article intitulé «Théorème de Pythagore »
    (voir
    la liste des auteurs)

    .
  • Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article intitulé «Triangle »
    (voir
    la liste des auteurs)

    .


  1. En langage actuel, on parlerait d’une égalité des aires plutôt que d’une égalité entre figures.

Voir aussi

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Articles connexes

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  • Formulaire de géométrie classique
  • Théorème de Routh
  • S = rp : l’aire du triangle est le produit du rayon du cercle inscrit par le demi-périmètre.

Lien externe

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Outil de calcul en ligne de l’aire du triangle



  • icône décorative

    Portail de la géométrie



Coordonnées Du Centre Du Cercle Circonscrit D’un Triangle

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Aire_d%27un_triangle

Popular:   Comment Calculer Le Périmètre D'un Cylindre

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