Comment on Fait Pour Simplifier Une Fraction

Comment on Fait Pour Simplifier Une Fraction

Introduction :

50’objectif de ce cours est d’apprendre à simplifier des fractions, outil bien pratique cascade en alléger ou en simplifier l’écriture.

Pour cela, nous commencerons par rappeler la notion de fraction et faire apparaitre, à travers de nombreux exemples, la notion d’égalité de fractions que nous introduirons ensuite. Nous poursuivrons alors par la définition et la méthodologie de simplifications de fractions.

Notion de fraction

Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers. Elle peut exprimer différentes notions.

Exprimer une proportion

Une fraction peut exprimer une
proportion, united nations partage dont le nombre de parts est donné par le
numérateur
et le nom de la office (sa taille) est donné par le
dénominateur.

bannière exemple

Exemple

La fraction





2


5



\frac\blue{2}\cerise{v}



exprime




2


\blue{ii}



parts d’une unité qui est partagée en




5


\red{five}



parts égales soit «deux
cinquièmes » de cette unité.

Une fraction peut être représentée sur la surface d’un disque (ou d’un rectangle).

bannière exemple

Exemple

Simplification de fractions mathématiques cinquième

La surface coloriée représente






3


4




\dfrac {\color{#57BAB5}{3}}{\colour {#F096BF} {4}}



de la surface du disque.

Simplification de fractions mathématiques cinquième

La surface coloriée représente






6


8




\dfrac {\color{#57BAB5}{6}}{\color {#F096BF} {viii}}



de la surface du disque.

  • On constate ici que deux fractions qui n’ont pas la même écriture peuvent représenter la même surface d’un disque.

Une fraction peut être représentée sur une droite graduée.

MÉTHODE

Soient deux entiers



a

a



et



b

b


, avec



b

b



non nul.
Cascade placer une fraction




a
b


\frac ab



sur une droite graduée, on partage l’unité en



b

b



parts égales et on reporte



a

a



fois une part à partir de








.

bannière exemple

Exemple

  • Placer les points



    A

    A



    et



    B

    B



    d’abscisses respectives




    2
    five


    \frac 25



    et




    8
    5


    \frac 85


    .

Simplification de fractions mathématiques cinquième

L’unité a été partagée en



v

5



parts égales.
À partir de








, on a reporté



ii

2



fois une office cascade placer



A
=

two
five


A=\frac 25



et



eight

eight



fois une part pour placer



B
=

8
5


B=\frac 85


.

  • Placer les points



    C

    C



    et



    D

    D



    d’abscisses respectives




    xvi
    10


    \frac{16}{10}



    et




    23
    10


    \frac{23}{ten}


    .

Simplification de fractions mathématiques cinquième

L’unité a été partagée en



ten

10



parts égales.
À partir de








, on a reporté



16

xvi



fois une part pour placer



C
=

xvi
10


C=\frac{xvi}{10}



et



23

23



fois une part pour placer



D
=

23
ten


D=\frac{23}{x}


.

  • On constate également ici que

    deux fractions qui northward’ont pas la même écriture

    peuvent avoir la même position sur une droite graduée.

bannière astuce

Astuce

La représentation sur une droite graduée est plus pratique pour représenter une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur (fraction plus grande que l’unité).
Elle permet également de comparer facilement des fractions dont la valeur est relativement proche.

Exprimer un quotient

Une fraction peut exprimer un caliber (résultat d’une division).

bannière definition

Définition

Quotient :

Soient deux nombres



a

a



et



b

b


, avec



b

b



not nul.
Le quotient de



a

a



par



b

b



est le nombre qui, multiplié par



b

b


, donne



a

a


. Son écriture fractionnaire est




a
b


\frac ab


.

bannière à retenir

À retenir

Par définition on a




a
b

×
b
=
a

\frac ab \times b = a


.
On a aussi



a
÷
b
=

a
b


a \div b = \frac ab


.
Si



a

a



et



b

b



sont entiers, alors le quotient




a
b


\frac ab



est bien une fraction.

APPLICATIONS

  • Valeur d’une fraction

bannière exemple

Exemple

La fraction




7
4


\frac 74



est le quotient de



seven

7



par



iv

4


.
Ici, le plus simple est de poser la division :




7
4

=
vii
÷
four
=
1
,
75

\frac 74 = 7 \div 4 = 1,75


La fraction




21
12


\frac {21}{12}



est le caliber de



21

21



par



12

12


.
Posons également la division :




21
12

=
21
÷
12
=
one
,
75

\frac{21}{12} = 21 \div 12 = 1,75


  • Nous constatons ici aussi que deux fractions qui n’ont pas la même écriture peuvent avoir la même valeur.

La fraction




5
3


\frac 53



est le caliber de



5

5



par



iii

3


.
On a




5
3

=
v
÷
3
=
one
,
666666


\frac 53 = 5 \div iii = i,666666…


  • On remarque que cette fraction north’admet pas d’écriture décimale.

  • Expression d’united nations nombre entier ou d’un nombre décimal

Un nombre entier peut due south’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est ce nombre entier lui-même et le dénominateur est



1

1


.
United nations nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

bannière exemple

Exemple




3
=

3
1


3 = \frac 31






,
7
=

7
10


0,seven = \frac {seven}{x}





58
,
207
=

58207
g


58,207 = \frac{58207}{grand}


bannière à retenir

À retenir

Tout nombre entier ou décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction, mais toute fraction n’admet pas une écriture décimale.

Ces rappels étant faits, nous pouvons maintenant passer à la simplification de fractions.

Simplification de fractions

Nous avons vu que des fractions qui northward’ont pas la même écriture peuvent avoir la même valeur ; on parle de
fractions égales.

bannière à retenir

À retenir

Simplifier une fraction, c’est justement trouver une fraction égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits que ceux de la fraction initiale pour « simplifier » l’écriture de la fraction.

Ainsi, pour pouvoir simplifier une fraction, il faut d’abord bien connaître la notion de quotients égaux.

Quotients égaux

bannière propriete

Propriété

Deux quotients sont égaux quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels.

Autrement dit, la valeur d’un caliber ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Ainsi, pour tous nombres



a

a


,



b

b



et



k

1000


, avec



b

b



et



k

1000



non nuls :




a
b

=


a
×
k


b
×
k



\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k}



et




a
b

=


a
÷
k


b
÷
k



\frac ab = \frac{a \div one thousand}{b \div k}


.

bannière exemple

Exemple






44
24


=



44
÷
iv


24
÷
4



=


11
6



\dfrac{44}{24}=\dfrac{44 \div 4}{24 \div 4}=\dfrac{11}{6}







one
2


=



i
×
five


2
×
v



=


v
10



\dfrac 12=\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5}=\dfrac{5}{ten}


Simplifier une fraction

bannière definition

Définition

Simplification de fraction :

Simplifier une fraction, c’est lui trouver une fraction égale avec un numérateur et united nations dénominateur plus petits.

Ainsi, la simplification de fractions est une application directe de la propriété des quotients égaux, restreinte ici aux fractions.

MÉTHODOLOGIE

Soient deux entiers



a

a



et



b

b


, avec



b

b



non nul.
Pour simplifier la fraction




a
b


\frac ab


, il s’agira de trouver, si possible, un entier



one thousand

k



différent de









et de



i

i



tel que



a

a



et



b

b



appartiennent tous deux à la tabular array de



g

k


.

  • Une fraction simplifiée de




    a
    b


    \frac ab



    sera alors





    a
    ÷
    1000


    b
    ÷
    thousand



    \frac{a\div one thousand}{b\div k}


    .

On dira alors qu’on a « simplifié la fraction par



k

grand



».
On pourra parfois aussi entendre que «



a

a



et



b

b



sont divisibles par



k

thou



», ce qui revient à dire que «



a

a



et



b

b



appartiennent à la table de



chiliad

chiliad



».

bannière exemple

Exemple

  • Simplifier la fraction




    eighteen
    fifteen


    \frac{18}{15}


    .




18

eighteen



et



xv

fifteen



appartiennent à la tabular array de



3

3


. On peut écrire




18
15

=


18
÷
3


15
÷
3


=

6
5


\frac{xviii}{fifteen} = \frac{18 \div iii}{15 \div 3}=\frac 65



donc




eighteen
15

=

vi
5


\frac {18}{15} = \frac 65


.

  • On a simplifié la fraction par



    3

    3


    .

  • Simplifier le plus possible




    60
    ninety


    \frac{60}{90}


    .




60

lx



et



90

90



appartiennent à la table de



10

10


. On peut écrire




60
90

=


lx
÷
ten


ninety
÷
ten


=

half-dozen
ix


\frac{60}{xc} = \frac{60\div 10}{90\div 10}=\frac 69



donc




60
90

=

6
9


\frac{lx}{90} = \frac 69


.




6

half dozen



et



nine

ix



appartiennent à la table de



iii

3


. On peut écrire




vi
ix

=


6
÷
3


9
÷
3


=

2
three


\frac 69 = \frac{6\div iii}{9\div 3}=\frac 23



donc




6
9

=

2
3


\frac 69 = \frac 23


.




2

2



et



3

3



n’appartiennent à aucune table commune différente de celle de



1

1


. On ne peut donc pas simplifier la fraction




2
3


\frac 23


.

  • La forme la plus simplifiée de




    60
    90


    \frac{60}{90}



    est donc




    2
    3


    \frac 23



    : on a




    60
    ninety

    =

    2
    3


    \frac{60}{ninety} = \frac 23


    .

bannière astuce

Astuce

La forme la plus simplifiée d’une fraction est dite « irréductible », mais cette notion ne sera réellement abordée qu’en classe de 3e.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons appris à simplifier l’écriture d’une fraction. Cascade ce faire, nous avons introduit la notion de quotients égaux qui est indispensable à la compréhension de cette méthode. Nous avons également revu la notion de fraction dont les différents sens, expressions et représentations doivent être parfaitement intégrés maintenant.

Comment on Fait Pour Simplifier Une Fraction

Source: https://www.schoolmouv.fr/cours/simplification-de-fractions/fiche-de-cours

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