Calculer Un Vecteur Avec Ses Coordonnées

Calculer Un Vecteur Avec Ses Coordonnées

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les coordonnées d’un vecteur en deux dimensions.

Un vecteur est une quantité défini par une
direction, united nations
sens
et une
norme. Géométriquement, on le représente par une flèche (ou un segment dirigé, la flèche indiquant le sens) reliant son origine à son extrémité. Le sens du vecteur est le sens du déplacement de son origine vers son extrémité et sa norme est la distance entre les deux points (ou la longueur du segment entre les deux points).

Sur la figure ci-dessous, les vecteurs
𝐴 𝐵
et
𝐶 𝐷
sont respectivement représentés par des flèches entre le bespeak
𝐴
et le point

𝐵 ,
et entre le betoken
𝐶
et le point

𝐷 .

Représenter les vecteurs dans un repère du plan nous permet de décrire les vecteurs beaucoup plus facilement grâce à leurs coordonnées. Voyons donc ce que sont les coordonnées de vecteurs.

Dans le repère ci-dessus, on peut décrire complètement le vecteur
𝐴 𝐵
par « four unités vers la droite, 2 unités vers le haut » qui indique la direction, le sens et la distance:si on commence en

𝐴 ,
ces instructions nous amènent directement à

𝐵 .
De même, le vecteur
𝐶 𝐷
peut être décrit par « ane unité vers la gauche, one unité vers le haut ».

Ces descriptions sont la base de ce que l’on appelle les coordonnées d’un vecteur. On rappelle que les coordonnées de points à gauche / droite et en bas / haut de l’origine sont décrites avec des nombres négatifs / positifs. De la même manière, on utilise des nombres positifs et négatifs pour décrire les vecteurs avec leurs coordonnées. Si le vecteur

  • va vers la

    g a u c h e d r o i t e / ,
    sa première coordonnée (horizontale) est

    northward é g a t i five e p o s i t i v e /
    ;
  • va vers le

    b a s h a u t / ,
    sa deuxième coordonnée (verticale) est

    n é g a t i v e p o southward i t i five e / .

Définition : Coordonnées d’un vecteur

Les coordonnées d’united nations vecteur sont notées

( 𝑎 , 𝑏 ) ,

𝑎
décrit le déplacement
h o r i z o n t a 50
et
𝑏
le déplacement
v e r t i c a l
de l’origine à l’extrémité du vecteur.

La figure suivante représente plusieurs vecteurs et leurs coordonnées.

Voyons avec l’exemple suivant comment trouver les coordonnées d’un vecteur représenté sur un repère.

Exemple 1: Déterminer les coordonnées horizontale et verticale d’un vecteur

Soit le vecteur
𝐴 𝐵
cascade
𝐴 ( 3 ; 2 )
et

𝐵 ( 6 ; ix ) .
Exprimez
𝐴 𝐵
sous la forme

( 𝑎 , 𝑏 ) .

Réponse

Cascade déterminer les coordonnées horizontale et verticale de

𝐴 𝐵 ,
c’est-à-dire cascade trouver
𝑎
et
𝑏
tels que

𝐴 𝐵 = ( 𝑎 , 𝑏 ) ,
on peut étudier les distances horizontale et verticale de
𝐴
à

𝐵 .
Une autre façon d’aborder cela est de déterminer la distance que l’on doit parcourir dans la direction horizontale ( 𝑎 ) et dans la management verticale ( 𝑏 ) cascade aller de
𝐴
à

𝐵 .

La distance horizontale est égale à la différence entre les abscisses

𝑥 ,
qui est

half-dozen 3 = 3 .
La distance verticale est égale à la différence entre les ordonnées

𝑦 ,
qui est

nine ii = 7 .

On peut donc noter le vecteur de
𝐴
à
𝐵
comme
𝐴 𝐵 = ( 3 , 7 ) .

La méthode que nous avons employée pour déterminer les coordonnées du vecteur dans fifty’exemple précédent utilisant les coordonnées de 50’origine et de l’extrémité du vecteur peut être résumée comme accommodate.

Comment exprimer un vecteur en fonction de ses coordonnées

Cascade exprimer united nations vecteur
𝐴 𝐵
sous la forme

( 𝑎 , 𝑏 ) ,

𝐴 ( 𝑥 ; 𝑦 )
et

𝐵 ( 𝑥 ; 𝑦 ) ,
on calcule d’abord la différence entre les abscisses
𝑥
pour obtenir

𝑎 ,
puis on calcule la différence entre les ordonnées
𝑦
pour obtenir

𝑏
:

𝐴 𝐵 = ( 𝑎 , 𝑏 ) , 𝑎 = 𝑥 𝑥 𝑏 = 𝑦 𝑦 . o ù e t

Exemple 2: Déterminer les coordonnées horizontale et verticale d’un vecteur

Soit le vecteur sur la figure ci-dessous.

  1. Quelles sont les coordonnées de son extrémité?
  2. Quelles sont les coordonnées de son origine?
  3. Quelles sont les coordonnées du vecteur?
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Réponse

Partie one

Lorsqu’un vecteur est représenté sur un repère, fifty’extrémité du vecteur est le point vers lequel se dirige la flèche. On peut la considérer comme l’endroit vers lequel pointe le vecteur. D’après la figure, on voit que
( 7 ; i )
est l’extrémité.

Partie 2

L’origine est le point de départ de la flèche. En observant la figure, on peut ainsi voir que
( 1 ; 2 )
est l’origine.

Partie 3

On peut trouver la première coordonnée du vecteur en calculant la différence entre les abscisses
𝑥
de 50’extrémité et de 50’origine;la première coordonnée (ou de manière équivalente, la coordonnée en
𝑥 ) du vecteur
𝑣
est

7 ( i ) = half-dozen .
Quant à la deuxième coordonnée, elle est égale à la différence entre les ordonnées
𝑦
de l’extrémité et de fifty’origine. La deuxième coordonnée (ou de manière équivalente, la coordonnée en
𝑦 ) est donc

1 2 = 3 .
Pour exprimer le vecteur en fonction de ses coordonnées, on use la note

( 6 ; 3 ) .

Nous allons maintenant définir deux vecteurs spéciaux de norme 1. Le vecteur
𝑖
représente un déplacement d’une distance d’une unité dans la direction des
𝑥
et le vecteur
𝑗
représente un déplacement d’une distance d’une unité dans la direction des

𝑦 .

Définition : Vecteurs unitaires

En utilisant la note décrite précédemment, on peut définir
𝑖 = ( one , ) 𝑗 = ( , one ) , e t

( 1 ; )
représente le déplacement de i unité dans la direction des
𝑥
et de 0 unité dans la direction des

𝑦 ,
et
( ; 1 )
représente le déplacement de 0 unité dans la direction des
𝑥
et de i unité dans la direction des

𝑦 .

Il est important de noter que ces vecteurs ne doivent pas nécessairement être issus de fifty’origine. Ces vecteurs unitaires décrivent simplement le déplacement d’une altitude de i unité dans la management horizontale ou verticale, leur origine peut varier.

Sur la figure ci-dessous par exemple, le vecteur unitaire
𝑖
peut représenter le déplacement de
( two , v ; 2 )
à
( 3 , 5 ; ii )
comme fifty’abscisse
𝑥
augmente de 1 et 50’ordonnée
𝑦
ne alter pas.

Le vecteur unitaire
𝑗
peut représenter le déplacement de
( 4 ; 3 )
à
( 4 ; 4 )
comme l’abscisse
𝑥
ne change pas et fifty’ordonnée
𝑦
augmente de 1.

Le vecteur
𝑎 𝑖
représente le déplacement de
𝑎
instances de

𝑖 .
On peut écrire
𝑎 𝑖 = ( 𝑎 , )
ce qui signifie que l’on se déplace de
𝑎
unités dans la direction horizontale et de 0 unité dans la direction verticale.

Le vecteur
𝑏 𝑗
représente le déplacement de
𝑏
instances de

𝑗 .
On peut écrire
𝑏 𝑗 = ( , 𝑏 )
ce qui signifie que l’on se déplace de
𝑏
unités dans la direction verticale et de 0 unité dans la direction horizontale.

Le vecteur
ii 𝑖 = ( ii ; )
est par exemple représenté en bleu sur la effigy ci-dessous.

Une fois que nous avons des vecteurs de la forme
𝑎 𝑖
et
𝑏 𝑗
nous pouvons les additionner pour décrire tout vecteur de la forme

𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗 .

Comment noter un vecteur en fonction des vecteurs unitaires

Si on se déplace d’un bespeak de départ
𝐶 ( 𝑥 ; 𝑦 )
jusqu’à united nations point d’arrivée

𝐷 ( 𝑥 ; 𝑦 ) ,
cela décrit united nations vecteur
𝐶 𝐷
qui représente united nations déplacement d’une altitude de
( 𝑥 𝑥 )
dans la management des

𝑥 ,
puis d’une distance de
𝑦 𝑦
dans la management des

𝑦 .

On peut noter ce vecteur de deux façons:
𝐶 𝐷 = ( 𝑥 𝑥 , 𝑦 𝑦 )
ou
𝐶 𝐷 = ( 𝑥 𝑥 ) 𝑖 + ( 𝑦 𝑦 ) 𝑗 .

Exemple iii: Exprimer des vecteurs comme la somme de vecteurs unitaires

Sachant que chaque carré de la grille a une longueur de 1, exprimez le vecteur
𝐴 𝐵
sous la forme

𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗 ,
puis sous la forme

( 𝑎 , 𝑏 ) .

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Réponse

À partir de 50’origine

𝐴 ,
on se déplace de
+ 2
unités dans la direction horizontale (qui représente le vecteur
two 𝑖 ), puis on se déplace de
+ iii
unités dans la direction verticale (qui représente le vecteur
3 𝑗 ), pour aller au point

𝐵 .

Le vecteur

𝐴 𝐵 ,
qui représente un déplacement direct de
𝐴
à

𝐵 ,
est alors égal à la somme de ces vecteurs unitaires.

Par conséquent,
𝐴 𝐵 = 2 𝑖 + 3 𝑗 = ( 2 , 3 ) .

Utiliser les vecteurs
𝑖
et
𝑗
permet de décrire le vecteur en fonction du nombre de pas horizontaux et verticaux de longueur 1 que l’on doit effectuer pour aller de l’origine à l’extrémité.

Notez que des coefficients négatifs de
𝑖
et
𝑗
représentent respectivement united nations déplacement vers la gauche ou vers le bas.

Par exemple, le vecteur
𝐴 𝐵 = ( two ; 3 )
ci-dessus, qui représente le déplacement de -2 unités dans la direction des
𝑥
et de -three unités dans la direction des

𝑦 ,
peut être noté
( 2 𝑖 ) + ( 3 𝑗 )
ou
𝐴 𝐵 = 2 𝑖 three 𝑗 .

Nous devons parfois résoudre des problèmes de vecteurs cascade lesquels la compétence principale est fifty’interprétation de l’énoncé de la question et sa traduction en termes mathématiques.

Exemple 4: Problème impliquant des coordonnées de vecteurs

Un corps s’est déplacé de
190 cm
vers 50’est, où
𝑖
et
𝑗
sont deux vecteurs unitaires pointant respectivement dans les directions est et nord. Exprimez son déplacement en fonction des deux vecteurs unitaires
𝑖
et

𝑗 .

Réponse

Il est indiqué que
𝑖
représente la direction est et
𝑗
la direction nord. Le corps s’est déplacé vers l’est. Le vecteur représentant ce déplacement northward’aureola donc pas de coordonnée nord. Le coefficient de
𝑗
est par conséquent nul. On sait qu’il south’est déplacé de
190 cm
vers fifty’est, donc le coefficient de
𝑖
est 190. Par conséquent, le déplacement du corps peut être représenté par
1 9 𝑖 + 𝑗 = 1 9 𝑖 . c m

Rappelez-vous que des vecteurs équivalents sont des vecteurs qui ont la même direction, le même sens et la même norme.

Considérons maintenant les vecteurs

𝐴 𝐵 = ( 2 ; 1 ) ,


𝐶 𝐷 = ( 4 ; two ) ,

𝐸 𝐹 = ( four ; 2 )
et
𝐺 𝐻 = ( four ; ii )
sur la effigy suivante.

On peut voir que tous les vecteurs sont situés sur la même droite ou sur des droites parallèles. Le vecteur
𝐺 𝐻
n’est cependant pas dans le même sens que les trois autres automobile il pointe vers la droite et vers le haut, tandis que les autres pointent vers la gauche et vers le bas.

Notons ici que cascade que des vecteurs soient situés sur la même droite ou sur des droites parallèles, les quotients de leur coordonnée en
𝑦
sur leur coordonnée en
𝑥
doivent être égaux;ils correspondent alors à la pente de la droite.

On peut calculer les normes des quatre vecteurs en formant des triangles rectangles dont chaque vecteur est l’hypoténuse et dont les deux autres côtés sont parallèles aux axes des
𝑥
et des

𝑦 ,
comme illustré ci-dessus cascade

𝐴 𝐵 ,
et en appliquant ensuite le théorème de Pythagore. Les longueurs des côtés sont égales aux valeurs absolues des coordonnées des vecteurs. On trouve
𝐴 𝐵 = two + i = 5 , 𝐶 𝐷 = 4 + 2 = 2 = 2 v , 𝐸 𝐹 = iv + 2 = 2 = 2 v , 𝐺 𝐻 = iv + 2 = 2 = 2 5 .

On remarque que les coordonnées de
𝐺 𝐻
sont les opposées des coordonnées de
𝐸 𝐹
et

𝐶 𝐷 ,
ce qui signifie que les vecteurs ont la même norme mais des sens opposés.

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Les deux vecteurs de même management, sens et norme sont
𝐶 𝐷
et
𝐸 𝐹
puisqu’ils ont les mêmes coordonnées. Ils sont
équivalents.

On peut facilement montrer que la réciproque est vraie:des vecteurs équivalents (c’est-à-dire des vecteurs de même norme, management et sens) doivent avoir les mêmes coordonnées. Soient deux vecteurs équivalents
𝑣 = ( 𝑎 , 𝑏 )
et

𝑣 = ( 𝑐 , 𝑑 ) .
Comme
𝑣
et
𝑣
ont la même direction et le même sens, les quotients de leurs coordonnées doivent être égaux et leurs coordonnées doivent avoir le même signe. Par conséquent,
𝑐 = 𝑘 𝑎 𝑑 = 𝑘 𝑏 𝑘 > . due east t p o u r

De plus,
𝑣
et
𝑣
ont la même norme. En utilisant les triangles rectangles vus ci-dessus, cela signifie que
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 .

En substituant les expressions de
𝑐
et
𝑑
dans cette équation, on a
𝑎 + 𝑏 = ( 𝑘 𝑎 ) + ( 𝑘 𝑏 ) 𝑎 + 𝑏 = 𝑘 𝑎 + 𝑘 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑘 ( 𝑎 + 𝑏 ) 𝑎 + 𝑏 = 𝑘 ( 𝑎 + 𝑏 ) .

Par conséquent,
𝑘 = 1 ,
et
( 𝑎 , 𝑏 ) = ( 𝑐 , 𝑑 ) .

Propriété : Vecteurs équivalents et coordonnées

Des vecteurs de mêmes coordonnées sont équivalents:ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Réciproquement, des vecteurs équivalents ont les mêmes coordonnées.

Utilisons cette propriété dans le dernier exemple pour déterminer les coordonnées d’united nations point sachant qu’il s’agit de l’extrémité d’un vecteur équivalent à un autre vecteur.

Exemple five: Vecteurs équivalents sur un repère du plan

Les points

𝐴 ,

𝐵
et
𝐶
ont les coordonnées respectives

( seven ; 1 ) ,

( 2 ; 4 )
et

( iv ; one ) .
Sachant que
𝐴 𝐵
et
𝐶 𝐷
sont des vecteurs équivalents, déterminez les coordonnées de

𝐷 .

Réponse

On sait que
𝐴 𝐵
et
𝐶 𝐷
sont des vecteurs équivalents, ce qui signifie qu’ils ont les mêmes coordonnées. Calculons donc les coordonnées de

𝐴 𝐵
:

𝐴 𝐵 = ( 𝑥 𝑥 , 𝑦 𝑦 ) 𝐴 𝐵 = ( 2 ( seven ) , 4 ane ) 𝐴 𝐵 = ( five , 3 ) .

On peut vérifier que ce résultat est correct sur la figure:on se déplace de 5 unités vers la droite et de three unités vers le haut pour aller de
𝐴
à

𝐵 .

Puisque
𝐴 𝐵
et
𝐶 𝐷
ont les mêmes coordonnées,
𝐶 𝐷 = ( 5 , 3 ) .

Comme

𝐶 𝐷 = ( 𝑥 𝑥 , 𝑦 𝑦 ) ,
cela nous donne
𝑥 𝑥 = 5 , 𝑦 𝑦 = 3 .

En substituant les valeurs de
𝑥
et

𝑦 ,
on obtient
𝑥 ( 4 ) = 5 𝑥 = 5 + ( 4 ) = 1 ,
et
𝑦 ( 1 ) = 3 𝑦 = 3 + ( 1 ) = 2 .

Les coordonnées du point
𝐷
sont donc

( one ; 2 ) .

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Les coordonnées d’un vecteur sont notées

    ( 𝑎 , 𝑏 ) ,

    𝑎
    décrit le déplacement
    h o r i z o n t a l
    et
    𝑏
    le déplacement
    five east r t i c a l
    de l’origine à fifty’extrémité du vecteur.

  • Les coordonnées
    ( 𝑎 , 𝑏 )
    du vecteur

    𝐴 𝐵 ,

    𝐴 ( 𝑥 ; 𝑦 )
    et

    𝐵 ( 𝑥 ; 𝑦 ) ,
    sont définies par
    ( 𝑎 , 𝑏 ) = ( 𝑥 𝑥 , 𝑦 𝑦 ) .
  • Les vecteurs unitaires sont définis par
    𝑖 = ( one , ) 𝑗 = ( , i ) . e t
  • Tout vecteur
    𝑣
    de coordonnées
    ( 𝑎 , 𝑏 )
    peut être écrit en fonction des vecteurs unitaires
    𝑖
    et

    𝑗
    :

    𝑣 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗 .
  • Des vecteurs de mêmes coordonnées sont équivalents et réciproquement, des vecteurs équivalents ont les mêmes coordonnées.

Calculer Un Vecteur Avec Ses Coordonnées

Source: https://www.nagwa.com/fr/explainers/368170920380/

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